Termodynamika: gaz doskonały, przemiany gazowe, cykle

3 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z fizyki (2023–2025). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

Matura CKE · maj 2025 · zad. 6 8 pkt termodynamika, cykl gazu doskonałego, przemiany, I zasada termodynamiki
Na wykresie 1. przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od temperatury $T$ w cyklu przemian termodynamicznych $A \to B \to C \to A$ ustalonej masy gazu doskonałego.

Przyjmij, że:
- ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_{V} = \frac{3}{2} R$ , gdzie $R$ jest stałą gazową
- temperatura, ciśnienie i objętość gazu w stanie $A$ są — odpowiednio — równe $T_{1}$ , $p_{1}$ i $V_{1}$
- stany gazu $A$ , $B$ , $C$ , $X$ znajdują się w punktach kratowych siatki wykresu
- liczbę moli gazu oznaczymy jako $n$ .
Z wykresu odczytujemy: $A = (T_{1}; p_{1})$ , $B = (3 T_{1}; 3 p_{1})$ , $C = (3 T_{1}; p_{1})$ , $X = (3 T_{1}; 2 p_{1})$ (punkt pomocniczy między B i C).

Zadanie 6.1. (0–2) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. W przemianie $A \to B$ energia wewnętrzna gazu wzrosła.
2. W przemianie $C \to A$ gaz pobrał ciepło z otoczenia.
3. Wartość bezwzględna pracy siły parcia gazu w przemianie $B \to C$ jest równa wartości bezwzględnej ciepła pobranego w tej przemianie.
Zadanie 6.2. (0–4) Wyznacz objętości gazu w stanach $B$ , $C$ oraz $X$ w zależności od $V_{1}$ . Narysuj wykres zależności ciśnienia $p$ od objętości $V$ dla cyklu $A \to B \to C \to A$ .

Zadanie 6.3. (0–2) Wyznacz ciepło $Q_{o dd}$ oddane przez gaz w przemianie $C \to A$ . Wynik zapisz w zależności od $T_{1}$ , $n$ i $R$ .
Pokaż odpowiedź
6.1.
- (1) P — w przemianie $A \to B$ rośnie zarówno $T$ , jak i $p$ (z wykresu izochora? Sprawdzamy:
  $A \to B$ to $p / T = const$ , czyli izochora — temperatura rośnie, więc energia wewnętrzna
  $U = n C_{V} T$ wzrasta).
- (2) F — w $C \to A$ temperatura maleje ( $3 T_{1} \to T_{1}$ ), gaz oddaje ciepło.
- (3) P — $B \to C$ jest izotermą (stała $T$ , malejące $p$ ), więc $Δ U = 0$ i z I zasady
  termodynamiki $Q = W$ , więc $∣ W ∣ = ∣ Q ∣$ .
6.2. Z równania stanu gazu $p V = n RT$ przy ustalonej $n$ :
- W $A$ : $p_{1} V_{1} = n R T_{1}$
- W $B$ : $3 p_{1} \cdot V_{B} = n R \cdot 3 T_{1}$ , więc $V_{B} = V_{1}$ (izochora $A \to B$ )
- W $C$ : $p_{1} \cdot V_{C} = n R \cdot 3 T_{1}$ , więc $V_{C} = 3 V_{1}$ (izobara $C \to A$ )
- W $X$ : $2 p_{1} \cdot V_{X} = n R \cdot 3 T_{1}$ , więc $V_{X} = \frac{3}{2} V_{1} = 1, 5 V_{1}$
Wykres $p (V)$ : $A (V_{1}; p_{1}) \to B (V_{1}; 3 p_{1})$ — pionowa (izochora), $B (V_{1}; 3 p_{1}) \to C (3 V_{1}; p_{1})$
— krzywa izotermiczna (hiperbola), $C (3 V_{1}; p_{1}) \to A (V_{1}; p_{1})$ — pozioma (izobara).

6.3. Przemiana $C \to A$ jest izobaryczna. Ciepło oddane:
$Q_{o dd} = n C_{p} Δ T = n \cdot \frac{5}{2} R \cdot (T_{1} - 3 T_{1}) = - 5 n R T_{1}$

Wartość bezwzględna: $∣ Q_{o dd} ∣ = 5 n R T_{1}$ .
⚠ Typowa pułapka: Najczęstsze błędy: pomylenie izochory z izobarą na wykresie $p (T)$ (izochora przechodzi przez początek układu współrzędnych w $p (T)$ ), użycie $C_{V}$ zamiast $C_{p}$ w przemianie izobarycznej, brak znaku przy $Q_{o dd}$ . W gazie jednoatomowym $C_{p} = C_{V} + R = \frac{5}{2} R$ .
Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
Matura CKE · maj 2024 · zad. 8 4 pkt termodynamika, I zasada termodynamiki, cykl silnika cieplnego, gaz doskonały
Zadanie 8.

Cykl pracy silnika cieplnego, którego czynnikiem roboczym jest pewna ilość gazu doskonałego jednoatomowego, przedstawiono na wykresie zależności ciśnienia $p$ od objętości $V$ (oś pozioma: $V$ , w jednostkach $V_{1}$ ; oś pionowa: $p$ , w jednostkach $p_{1}$ ). Cykl: $G_{1} \to G_{2} \to G_{3} \to G_{4} \to G_{1}$ , gdzie:
- $G_{1} = (V_{1}, p_{1})$ ,
- $G_{2} = (V_{1}, 3 p_{1})$ — przemiana izochoryczna $1 \to 2$ (V = const, ciśnienie rośnie 3×),
- $G_{3} = (3 V_{1}, 3 p_{1})$ — przemiana izobaryczna $2 \to 3$ (p = const, objętość rośnie 3×),
- $G_{4} = (3 V_{1}, p_{1})$ — przemiana izochoryczna $3 \to 4$ (V = const, p maleje),
- $4 \to 1$ — przemiana izobaryczna (p = const, V maleje).
Ciepło molowe gazu w stałej objętości: $C_{V} = \frac{3}{2} R$ . Sumaryczna wartość bezwzględna ciepła odprowadzonego przez gaz w cyklu wynosi $∣ Q_{o dd} ∣ = 9, 5 p_{1} V_{1}$ .

Zadanie 8.1. (0–1)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Sumaryczne ciepło pobrane przez gaz w jednym cyklu pracy silnika wynosi:

A. $5, 5 p_{1} V_{1}$ B. $7, 5 p_{1} V_{1}$ C. $11, 5 p_{1} V_{1}$ D. $13, 5 p_{1} V_{1}$

Zadanie 8.2. (0–3)

Wyprowadź wzór na wartość bezwzględną zmiany energii wewnętrznej gazu $∣Δ U_{4 \to 1} ∣$ w przemianie z $G_{4}$ do $G_{1}$ . Wynik podaj w jednostkach $p_{1} V_{1}$ . Zapisz obliczenia.
Pokaż odpowiedź

8.1. Praca wykonana w cyklu = pole pod krzywą = pole prostokąta $G_{2} G_{3} G_{4} G_{1}$ projektowane na oś $V$ :

$W_{cy k l} = Δ p \cdot Δ V = (3 p_{1} - p_{1}) (3 V_{1} - V_{1}) = 2 p_{1} \cdot 2 V_{1} = 4 p_{1} V_{1}$

I zasada termodynamiki dla cyklu: $Δ U = 0$ (powrót do stanu początkowego), więc $Q_{n e tt o} = W$ .

$Q_{p o b} - ∣ Q_{o dd} ∣ = W_{cy k l}$
$Q_{p o b} = W_{cy k l} + ∣ Q_{o dd} ∣ = 4 + 9, 5 = 13, 5 p_{1} V_{1}$

Odpowiedź: D. $13, 5 p_{1} V_{1}$ .

8.2. Przemiana $4 \to 1$ jest izobaryczna ( $p = p_{1}$ , $V$ maleje z $3 V_{1}$ do $V_{1}$ ).

Z równania stanu gazu doskonałego: $p V = n RT$ . Dla stanu $G_{4}$ : $T_{4} = \frac{p _{1} \cdot 3 V _{1}}{n R} = \frac{3 p _{1} V _{1}}{n R}$ . Dla $G_{1}$ : $T_{1} = \frac{p _{1} V _{1}}{n R}$ .

$Δ T_{4 \to 1} = T_{1} - T_{4} = \frac{p _{1} V _{1}}{n R} - \frac{3 p _{1} V _{1}}{n R} = - \frac{2 p _{1} V _{1}}{n R}$

Zmiana energii wewnętrznej:

$Δ U_{4 \to 1} = n C_{V} Δ T = n \cdot \frac{3}{2} R \cdot (- \frac{2 p _{1} V _{1}}{n R}) = - 3 p_{1} V_{1}$

$∣Δ U_{4 \to 1} ∣ = 3 p_{1} V_{1}$

(Wartość bezwzględna, bo zmiana jest ujemna — gaz się ochładza.)

⚠ Typowa pułapka: Pułapka 8.1 — pominięcie faktu, że pole pod cyklem jest pracą NETTO. Często liczy się tylko pracę w jednej przemianie. Cykl = pole zamkniętego konturu na wykresie $p$ - $V$ . Pułapka 8.1 — pomylenie znaków $Q_{p o b}$ i $∣ Q_{o dd} ∣$ . I zasada: $Q_{p o b} = W + ∣ Q_{o dd} ∣$ (ciepło pobrane = praca + ciepło odprowadzone). NIE odwrotnie. Pułapka 8.2 — założenie że $Δ U$ zależy od ścieżki. NIE: $Δ U = n C_{V} Δ T$ ZAWSZE dla gazu doskonałego, niezależnie od typu przemiany. Klucz to różnica temperatur (lub równoważnie różnica $p V$ ). Pułapka 8.2 — użycie $C_{p}$ zamiast $C_{V}$ . Energia wewnętrzna gazu doskonałego = TYLKO energia kinetyczna cząsteczek = $n C_{V} T$ ( $C_{V}$ , nie $C_{p}$ ). $C_{p}$ pojawia się w izobarycznym przy obliczeniu **ciepła** ( $Q = n C_{p} Δ T$ ), ale $Δ U$ ZAWSZE liczymy z $C_{V}$ .
Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →

Matura CKE · maj 2023 · zad. 6 5 pkt termodynamika, przemiana izobaryczna, przemiana izochoryczna, gaz doskonały jednoatomowy, równanie stanu, ciepło molowe, I zasada termodynamiki

W cylindrze szczelnie zamkniętym ruchomym tłokiem znajduje się $n = 1$ mol jednoatomowego gazu doskonałego. Ten gaz poddano kolejno dwóm przemianom.

W pierwszej przemianie gaz ogrzewano, utrzymując stałą objętość, i dostarczono do tego gazu $Q_{1} = 100 J$ ciepła.
W drugiej przemianie gaz ogrzewano, utrzymując stałe ciśnienie, i dostarczono do tego gazu $Q_{2} = 100 J$ ciepła, czyli tę samą ilość ciepła, ile dostarczono w pierwszej przemianie.

Ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_{V} = \frac{3}{2} R$ , gdzie $R$ jest stałą gazową.

Zadanie 6.1. (0–1)

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Nr	Stwierdzenie	P/F
1.	W pierwszej przemianie wartość siły parcia gazu na tłok jest wprost proporcjonalna do temperatury bezwzględnej tego gazu.	P / F
2.	W drugiej przemianie objętość gazu w cylindrze jest wprost proporcjonalna do średniej energii kinetycznej cząsteczek tego gazu.	P / F

Zadanie 6.2. (0–1)

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C i jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Przyrost temperatury gazu w pierwszej przemianie oznaczamy jako $Δ T_{1}$ , a w drugiej przemianie – jako $Δ T_{2}$ .

Przyrosty temperatury gazu w opisanych przemianach spełniają relację

A. $Δ T_{1} > Δ T_{2}$ B. $Δ T_{1} < Δ T_{2}$ ponieważ przyrost energii wewnętrznej gazu jest C. $Δ T_{1} = Δ T_{2}$

1. taki sam w obu przemianach. 2. większy w pierwszej przemianie. 3. większy w drugiej przemianie.

Zadanie 6.3. (0–3)

Oblicz pracę, którą wykonała siła parcia gazu na tłok w drugiej przemianie. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

Zadanie 6.1.

W izochorze: $p \cdot V = n RT$ , $V = const$ , więc $p = \frac{n R}{V} T$ — ciśnienie wprost proporcjonalne do $T$ . Siła parcia $F = p \cdot S$ (gdzie $S$ – pole tłoka, stałe), więc $F \propto T$ . P
W izobarze: $V = \frac{n R}{p} T$ , więc $V \propto T$ . Średnia energia kinetyczna cząsteczki: $⟨ E_{k} ⟩ = \frac{3}{2} k_{B} T \propto T$ . Więc $V \propto ⟨ E_{k} ⟩$ . P

Zadanie 6.2.

Izochora: $W = 0$ , więc cała energia ciepła idzie na $Δ U$ : $Q_{1} = n C_{V} Δ T_{1}$ , czyli $Δ T_{1} = Q_{1} / (n C_{V})$ .

Izobara: $Q_{2} = n C_{p} Δ T_{2}$ , gdzie $C_{p} = C_{V} + R = \frac{5}{2} R$ . Część ciepła idzie na pracę, część na $Δ U$ : $Δ U_{2} = n C_{V} Δ T_{2} < Q_{2}$ .

Skoro $Q_{1} = Q_{2}$ i $C_{p} > C_{V}$ , to:

$Δ T_{2} = \frac{Q _{2}}{n C _{p}} < \frac{Q _{1}}{n C _{V}} = Δ T_{1}$

W izochorze całe ciepło idzie na wzrost energii wewnętrznej — w izobarze część zużywana jest na pracę. Zatem $Δ U_{1} > Δ U_{2}$ .

Odpowiedź: A – 2.

Zadanie 6.3.

W izobarze: $Q_{2} = Δ U_{2} + W_{2}$ , gdzie $W_{2}$ – praca gazu na tłok.

$Δ U_{2} = n C_{V} Δ T_{2}$

$Q_{2} = n (C_{V} + R) Δ T_{2} = n C_{p} Δ T_{2}$

Stosunek pracy do ciepła:

$\frac{W _{2}}{Q _{2}} = \frac{n R Δ T _{2}}{n C _{p} Δ T _{2}} = \frac{R}{C _{p}} = \frac{R}{\frac{5}{2} R} = \frac{2}{5}$

$W_{2} = \frac{2}{5} Q_{2} = \frac{2}{5} \cdot 100 J = 40 J$

Odpowiedź: $W_{2} = 40 J$ .

⚠ Typowa pułapka: - Dla jednoatomowego gazu doskonałego: $C_{V} = \frac{3}{2} R$ , $C_{p} = C_{V} + R = \frac{5}{2} R$ . - W izochorze $W = 0$ , w izobarze $W = p Δ V = n R Δ T$ . - I zasada termodynamiki: $Δ U = Q - W$ (konwencja CKE: $W$ = praca wykonana NAD gazem) lub $Q = Δ U + W$ (W = praca wykonana PRZEZ gaz). Uważać na znak! - Energia wewnętrzna gazu doskonałego zależy TYLKO od temperatury: $U = n C_{V} T$ , niezależnie od przemiany. - Częsta pomyłka: stosowanie $C_{V}$ zamiast $C_{p}$ przy obliczaniu $Δ T$ w izobarze.

Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →

Zadania treningowe — ułożone w stylu matury rozszerzonej (nie pochodzą z arkuszy CKE). Świetne do dodatkowych ćwiczeń, gdy przerobisz już oryginalne zadania.

Zadanie treningowe 4 pkt I zasada termodynamiki (przemiana izobaryczna)

Gaz doskonały rozpręża się izobarycznie pod stałym ciśnieniem $p = 1 \cdot 1 0^{5} P a$ od objętości $V_{1} = 2 d m^{3}$ do $V_{2} = 5 d m^{3}$ . W trakcie przemiany dostarczono do gazu $Q = 800 J$ ciepła.

a) Oblicz pracę wykonaną przez gaz. b) Oblicz zmianę energii wewnętrznej gazu.

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź:

a) $W = 300 J$ ; b) $Δ U = 500 J$ .

Rozwiązanie:

a) Praca gazu w przemianie izobarycznej: $W = p Δ V = p (V_{2} - V_{1}) .$ Zamieniamy objętości na metry sześcienne: $V_{1} = 2 d m^{3} = 2 \cdot 1 0^{- 3} m^{3}$ , $V_{2} = 5 \cdot 1 0^{- 3} m^{3}$ . $W = 1 \cdot 1 0^{5} \cdot (5 - 2) \cdot 1 0^{- 3} = 1 \cdot 1 0^{5} \cdot 3 \cdot 1 0^{- 3} = 300 J .$

b) Z I zasady termodynamiki $Q = Δ U + W$ , czyli: $Δ U = Q - W = 800 - 300 = 500 J .$

Energia wewnętrzna wzrosła o $500 J$ .

⚠ Typowa pułapka: Objętości trzeba przeliczyć na $m^{3}$ ( $1 d m^{3} = 1 0^{- 3} m^{3}$ ), aby praca wyszła w dżulach. Uwaga też na konwencję: $Q = Δ U + W$ , gdzie $W$ to praca WYKONANA przez gaz.
Zadanie treningowe 3 pkt przemiana izotermiczna gazu doskonałego

Gaz doskonały w ilości $n = 2 m o l$ o temperaturze $T = 300 K$ rozpręża się izotermicznie, przy czym jego objętość rośnie dwukrotnie. Przyjmij $R = 8, 31 \frac{J}{m o l \cdot K}$ oraz $ln 2 = 0, 693$ .

Oblicz pracę wykonaną przez gaz oraz ciepło pobrane w tej przemianie.

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź:

$W \approx 3, 46 k J$ ; $Q = W \approx 3, 46 k J$ .

Rozwiązanie:

Praca gazu doskonałego w przemianie izotermicznej: $W = n R T ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .$

Ponieważ objętość rośnie dwukrotnie, $\frac{V _{2}}{V _{1}} = 2$ : $W = 2 \cdot 8, 31 \cdot 300 \cdot ln 2 = 4986 \cdot 0, 693 \approx 3456 J \approx 3, 46 k J .$

W przemianie izotermicznej temperatura jest stała, więc energia wewnętrzna gazu doskonałego nie zmienia się ( $Δ U = 0$ ). Z I zasady termodynamiki: $Q = Δ U + W = 0 + W \approx 3, 46 k J .$

Całe pobrane ciepło zamienia się na pracę.

⚠ Typowa pułapka: W przemianie izotermicznej $Δ U = 0$ (dla gazu doskonałego $U$ zależy tylko od $T$ ), więc $Q = W$ . Częsty błąd to zapominanie logarytmu we wzorze na pracę izotermiczną.
Zadanie treningowe 3 pkt sprawność silnika Carnota

Silnik cieplny pracujący w cyklu Carnota działa między grzejnicą o temperaturze $T_{1} = 600 K$ a chłodnicą o temperaturze $T_{2} = 300 K$ .

a) Oblicz sprawność tego silnika. b) Ile pracy wykona silnik, pobierając z grzejnicy $Q_{1} = 1000 J$ ciepła?

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź:

a) $η = 0, 5 = 50%$ ; b) $W = 500 J$ .

Rozwiązanie:

a) Sprawność silnika Carnota zależy tylko od temperatur bezwzględnych źródeł: $η = 1 - \frac{T _{2}}{T _{1}} = 1 - \frac{300}{600} = 1 - 0, 5 = 0, 5 = 50%.$

b) Sprawność to stosunek pracy do pobranego ciepła, $η = \frac{W}{Q _{1}}$ , więc: $W = η \cdot Q_{1} = 0, 5 \cdot 1000 = 500 J .$

⚠ Typowa pułapka: Temperatury we wzorze muszą być w kelwinach. Sprawność Carnota jest maksymalną możliwą sprawnością dla danych temperatur — żaden rzeczywisty silnik jej nie przekroczy.
Zadanie treningowe 3 pkt przemiana izochoryczna gazu jednoatomowego

Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego ( $C_{V} = \frac{3}{2} R$ ) ogrzano izochorycznie (przy stałej objętości) od temperatury $T_{1} = 300 K$ do $T_{2} = 400 K$ . Przyjmij $R = 8, 31 \frac{J}{m o l \cdot K}$ .

Oblicz ciepło dostarczone do gazu oraz zmianę jego energii wewnętrznej.

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź:

$Q \approx 1247 J$ ; $Δ U = Q \approx 1247 J$ .

Rozwiązanie:

W przemianie izochorycznej objętość jest stała, więc gaz nie wykonuje pracy ( $W = p Δ V = 0$ ). Z I zasady termodynamiki całe ciepło zwiększa energię wewnętrzną: $Q = Δ U = n C_{V} Δ T = n \cdot \frac{3}{2} R \cdot (T_{2} - T_{1}) .$

Podstawiamy $n = 1 m o l$ , $Δ T = 400 - 300 = 100 K$ : $Q = 1 \cdot \frac{3}{2} \cdot 8, 31 \cdot 100 = 12, 465 \cdot 100 \approx 1247 J .$

Ponieważ $W = 0$ , zmiana energii wewnętrznej jest równa dostarczonemu ciepłu: $Δ U \approx 1247 J$ .

⚠ Typowa pułapka: W przemianie izochorycznej $W = 0$ , więc $Q = Δ U$ . Nie używaj tu $C_{p}$ — ciepło molowe przy stałej objętości to $C_{V} = \frac{3}{2} R$ (dla gazu jednoatomowego).

Termodynamika: gaz doskonały, przemiany gazowe, cykle

Zadanie 8.

Zadanie 8.1. (0–1)

Zadanie 8.2. (0–3)