Dynamika: zasady Newtona, pęd i energia, zderzenia

13 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z fizyki (2023–2025). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

1. Matura CKE · maj 2025 · zad. 2 6 pkt dynamika bryły sztywnej, ruch po równi pochyłej, moment bezwładności

   Dwa jednorodne walce W1 i W2 o tych samych promieniach $R_1=R_2=R$ i masach $m_1=m_2=m$ staczają się bez poślizgu po równi pochyłej o kącie nachylenia $\beta$. Momenty bezwładności walców względem osi obrotu wynoszą odpowiednio $I_1=k_{1}m{R}^2$ oraz $I_2=k_{2}m{R}^2$, przy czym $k_2>k_1$.

   Zadanie 2.1. (0–2) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

   Zadanie 2.2. (0–4) Wyznacz wartość przyspieszenia liniowego $a$ środka masy walca W2 staczającego się bez poślizgu po równi pochyłej. Wynik zapisz w zależności od $g$, $\beta$ i $k_2$.

   Pokaż odpowiedź

   2.1. Walec o większym współczynniku $k$ ma większy moment bezwładności, więc wolniej
   przyspiesza i osiąga mniejszą prędkość liniową u dołu równi. Energie kinetyczne walców na dole
   są równe (ZZE: $mgh=E_k$), ale W1 (mniejsze $k$) ma większą prędkość liniową.

   2.2. Z II zasady dynamiki ruchu postępowego i obrotowego:

   $$ma=mg\sin \beta -T,I_2\epsilon =TR$$

   Warunek toczenia bez poślizgu: $a=\epsilon R$, więc $T=k_{2}ma$. Podstawiając:

   $$a=\frac{g\sin \beta }{1+k_2}$$

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstsze błędy: pominięcie momentu bezwładności (traktowanie jako klocek), użycie wzoru $I=\frac{1}{2}m{R}^2$ zamiast ogólnego $km{R}^2$, zła interpretacja warunku toczenia bez poślizgu ($v=\omega R$, $a=\epsilon R$), nieprawidłowy znak siły tarcia.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
2. Matura CKE · maj 2025 · zad. 6 8 pkt termodynamika, cykl gazu doskonałego, przemiany, I zasada termodynamiki

   Na wykresie 1. przedstawiono zależność ciśnienia $p$ od temperatury $T$ w cyklu przemian termodynamicznych $A\to B\to C\to A$ ustalonej masy gazu doskonałego.

   Przyjmij, że:

   • ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_V=\frac{3}{2}R$, gdzie $R$ jest stałą gazową
   • temperatura, ciśnienie i objętość gazu w stanie $A$ są — odpowiednio — równe $T_1$, $p_1$ i $V_1$
   • stany gazu $A$, $B$, $C$, $X$ znajdują się w punktach kratowych siatki wykresu
   • liczbę moli gazu oznaczymy jako $n$.

   Z wykresu odczytujemy: $A=(T_1;p_1)$, $B=(3T_1;3p_1)$, $C=(3T_1;p_1)$, $X=(3T_1;2p_1)$ (punkt pomocniczy między B i C).

   Zadanie 6.1. (0–2) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

   1. W przemianie $A\to B$ energia wewnętrzna gazu wzrosła.
   2. W przemianie $C\to A$ gaz pobrał ciepło z otoczenia.
   3. Wartość bezwzględna pracy siły parcia gazu w przemianie $B\to C$ jest równa wartości bezwzględnej ciepła pobranego w tej przemianie.

   Zadanie 6.2. (0–4) Wyznacz objętości gazu w stanach $B$, $C$ oraz $X$ w zależności od $V_1$. Narysuj wykres zależności ciśnienia $p$ od objętości $V$ dla cyklu $A\to B\to C\to A$.

   Zadanie 6.3. (0–2) Wyznacz ciepło $Q_{odd}$ oddane przez gaz w przemianie $C\to A$. Wynik zapisz w zależności od $T_1$, $n$ i $R$.

   Pokaż odpowiedź

   6.1.

   • (1) P — w przemianie $A\to B$ rośnie zarówno $T$, jak i $p$ (z wykresu izochora? Sprawdzamy:
     $A\to B$ to $p/T=\text{const}$, czyli izochora — temperatura rośnie, więc energia wewnętrzna
     $U=n{C}_{V}T$ wzrasta).
   • (2) F — w $C\to A$ temperatura maleje ($3T_1\to T_1$), gaz oddaje ciepło.
   • (3) P — $B\to C$ jest izotermą (stała $T$, malejące $p$), więc $\Delta U=0$ i z I zasady
     termodynamiki $Q=W$, więc $|W|=|Q|$.

   6.2. Z równania stanu gazu $pV=nRT$ przy ustalonej $n$:

   • W $A$: $p_1{V}_1=nR{T}_1$
   • W $B$: $3p_1\cdot V_B=nR\cdot 3T_1$, więc $V_B=V_1$ (izochora $A\to B$)
   • W $C$: $p_1\cdot V_C=nR\cdot 3T_1$, więc $V_C=3V_1$ (izobara $C\to A$)
   • W $X$: $2p_1\cdot V_X=nR\cdot 3T_1$, więc $V_X=\frac{3}{2}{V}_1=1,5V_1$

   Wykres $p(V)$: $A(V_1;p_1)\to B(V_1;3p_1)$ — pionowa (izochora), $B(V_1;3p_1)\to C(3V_1;p_1)$
   — krzywa izotermiczna (hiperbola), $C(3V_1;p_1)\to A(V_1;p_1)$ — pozioma (izobara).

   6.3. Przemiana $C\to A$ jest izobaryczna. Ciepło oddane:
   $$Q_{odd}=n{C}_p\Delta T=n\cdot \frac{5}{2}R\cdot (T_1-3T_1)=-5nR{T}_1$$

   Wartość bezwzględna: $|Q_{odd}|=5nR{T}_1$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstsze błędy: pomylenie izochory z izobarą na wykresie $p(T)$ (izochora przechodzi przez początek układu współrzędnych w $p(T)$), użycie $C_V$ zamiast $C_p$ w przemianie izobarycznej, brak znaku przy $Q_{odd}$. W gazie jednoatomowym $C_p=C_V+R=\frac{5}{2}R$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
3. Matura CKE · maj 2025 · zad. 10 3 pkt szczególna teoria względności, energia relatywistyczna, energia kinetyczna

   Cząstka porusza się z prędkością $v=\frac{1}{2}c$, gdzie $c$ to prędkość światła w próżni. Jej energia kinetyczna wynosi $E_k=79,05\text{ keV}$.

   Zadanie 10. (0–3) Oblicz energię spoczynkową $E_0$ cząstki. Wynik podaj w keV z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

   Pokaż odpowiedź

   Współczynnik Lorentza dla $v=c/2$:
   $$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-1/4}}=\frac{1}{\sqrt{3/4}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1,1547$$

   Z definicji energii kinetycznej w teorii względności:
   $$E_k=(\gamma -1)E_0$$

   Zatem:
   $$E_0=\frac{E_k}{\gamma -1}=\frac{79,05\text{ keV}}{1,1547-1}=\frac{79,05}{0,1547}\approx 511\text{ keV}$$

   Wartość $E_0\approx 511\text{ keV}$ odpowiada energii spoczynkowej elektronu ($m_e{c}^2=511\text{ keV}$).

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstsze błędy: użycie klasycznego wzoru $E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$ (przy $v=c/2$ to daje znaczący błąd), pomyłka znaku $\gamma -1$ vs $1-\gamma$, błąd w upraszczaniu pierwiastka ($\sqrt{1-1/4}=\sqrt{3}/2$, nie $\frac{1}{2}$), zaokrąglanie $\gamma$ zbyt wcześnie.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
4. Matura CKE · maj 2025 · zad. 12 8 pkt fizyka jądrowa, rozpad alfa, zasada zachowania pędu, czas połowicznego rozpadu

   Izotop plutonu ${}_{94}^{238}\text{Pu}$ ulega rozpadowi promieniotwórczemu w wyniku przemiany $\alpha$. Podczas rozpadu jądra tego izotopu plutonu powstają cząstka $\alpha$ oraz jądro pewnego pierwiastka, który oznaczymy jako $X$.

   Przyjmij, że w opisanym rozpadzie $\alpha$:

   • iloraz masy jądra pierwiastka X i masy cząstki $\alpha$ wynosi w zaokrągleniu $\frac{m_X}{m_{\alpha }}\approx 58,5$
   • w chwili tuż przed opisanym rozpadem jądro plutonu ${}_{94}^{238}\text{Pu}$ było nieruchome
   • wartości prędkości jądra pierwiastka X i cząstki $\alpha$ — powstałych po rozpadzie jądra plutonu — są dużo mniejsze od wartości prędkości światła w próżni.

   Zadanie 12.1. (0–2) Uzupełnij schemat rozpadu $\alpha$ jądra plutonu ${}_{94}^{238}\text{Pu}$ tak, aby powstało równanie rozpadu. Wpisz w wykropkowane miejsca w schemacie właściwe liczby: atomową i masową, a pod schematem — symbol (lub nazwę) pierwiastka X, którego jądro powstaje w tym rozpadzie.

   Zadanie 12.2. (0–3) Energie kinetyczne jądra pierwiastka X i cząstki $\alpha$, tuż po rozpadzie jądra ${}_{94}^{238}\text{Pu}$, oznaczymy — odpowiednio — jako $E_{kinX}$ i $E_{kin\alpha }$.

   Oblicz iloraz $\frac{E_{kinX}}{E_{kin\alpha }}$. Zapisz obliczenia. Skorzystaj z zasady zachowania pędu.

   Zadanie 12.3. (0–3) Próbka $Z$ zawierająca izotop plutonu ${}_{94}^{238}\text{Pu}$ wytwarza energię w postaci ciepła na skutek rozpadu promieniotwórczego tego izotopu plutonu. Moc cieplną generowaną przez tę próbkę oznaczymy jako $P$.

   Próbka $Z$ — w pewnej chwili $t_0$ — wytwarzała moc cieplną równą $P_0=100\text{ J/s}$. Dokładnie po czasie $t=5$ lat od chwili $t_0$ moc cieplna spadła do wartości $P_t=96,13\text{ J/s}$.

   Przyjmij, że moc cieplna wytwarzana przez próbkę $Z$ jest wprost proporcjonalna do liczby jąder izotopu plutonu ${}_{94}^{238}\text{Pu}$ pozostających w próbce $Z$.

   Oblicz $T$ — czas połowicznego rozpadu izotopu plutonu ${}_{94}^{238}\text{Pu}$. Wynik podaj w latach, zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.

   Pokaż odpowiedź

   12.1. Z zasad zachowania liczby atomowej i masowej:

   • Liczba masowa: $238=A_X+4$ → $A_X=234$
   • Liczba atomowa: $94=Z_X+2$ → $Z_X=92$

   Pierwiastek o $Z=92$ to uran (U). Równanie rozpadu:
   $${}_{94}^{238}\text{Pu}{\to }_{92}^{234}\text{U}{+}_2^4\alpha$$

   12.2. Z zasady zachowania pędu (układ początkowo spoczynkowy): $0=m_X{v}_X+m_{\alpha }{v}_{\alpha }$,
   więc $m_X{v}_X=m_{\alpha }{v}_{\alpha }$ (co do wartości bezwzględnej, kierunki przeciwne).

   Stąd $v_X/v_{\alpha }=m_{\alpha }/m_X$.

   Energia kinetyczna: $E_{kin}=\frac{p^2}{2m}$. Ponieważ wartości pędów są równe ($p_X=p_{\alpha }$):
   $$\frac{E_{kinX}}{E_{kin\alpha }}=\frac{p^2/(2m_X)}{p^2/(2m_{\alpha })}=\frac{m_{\alpha }}{m_X}=\frac{1}{58,5}\approx 0,0171$$

   12.3. Moc cieplna jest proporcjonalna do liczby jąder: $P(t)=P_0\cdot 2^{-t/T}$.

   Podstawiamy: $\frac{P_t}{P_0}=0,9613=2^{-5/T}$, więc:
   $$-\frac{5}{T}={\log }_{2}0,9613=\frac{{\log }_{10}0,9613}{{\log }_{10}2}=\frac{-0,01714}{0,30103}\approx -0,05694$$

   $$T=\frac{5}{0,05694}\approx 87,8\text{ lat}\approx 88\text{ lat}$$

   Wartość zgodna z literaturą: $T_{1/2}{(}^{238}\text{Pu})\approx 87,7$ lat.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstsze błędy: zła pierwiastek X (mylenie uranu z neptunem, torem), pomylenie zasady zachowania pędu z zachowaniem energii (do pędu wektor, do energii skalar; $E_k\ne mv$, tylko $\frac{1}{2}m{v}^2$ albo $p^2/2m$), użycie wzoru $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$ bez przeliczenia $\lambda =\ln 2/T$, błąd jednostek czasu.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
5. Matura CKE · maj 2024 · zad. 1 8 pkt dynamika, opory ruchu, prędkość graniczna, II zasada Newtona, ruch jednostajny

   Zadanie 1.

   Kropla wody spadała pionowo w powietrzu. Na wykresie przedstawiono zależność wartości prędkości kropli $v$ od czasu $t$ ruchu. Na wykresie zaznaczono punkty A, B, C, D, E, F odpowiadające wybranym chwilom ruchu kropli.

   Przyjmij, że siła oporu powietrza działająca na kroplę jest proporcjonalna do kwadratu jej prędkości: $$F_o=k\cdot {\rho }_p\cdot S\cdot v^2$$ gdzie ${\rho }_p$ — gęstość powietrza, $S$ — pole przekroju kropli (koło o promieniu $R$), $k$ — stała bezwymiarowa. Gęstość wody ${\rho }_w$. Objętość kropli $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

   Zadanie 1.1. (0–1)

   Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Od chwili $t_A$ do chwili $t_D$ wartość przyśpieszenia kropli:

   A. rosła B. malała C. była stała

   Uzasadnij wybór, wybierając poprawne dokończenie zdania spośród 1–3. Wartość siły wypadkowej działającej na kroplę w tym przedziale czasu:

   1. rosła, ponieważ rosła siła oporu powietrza.

   2. malała, ponieważ wraz ze wzrostem prędkości rosła siła oporu powietrza, przeciwnie skierowana do siły ciężkości.

   3. była stała, ponieważ stała była siła ciężkości działająca na kroplę.

   Zadanie 1.2. (0–3)

   Narysuj na schematach (osobno dla chwili $t_E$ i $t_B$) wektory siły oporu powietrza ${\vec{F}}_{oE}$ i ${\vec{F}}_{oB}$ działającej na kroplę. Zachowaj proporcję długości wektorów. Wykorzystaj fakt, że $F_o\propto v^2$, oraz odczytane z wykresu wartości $v_E=v_{gr}$ (prędkość graniczna) i $v_B$.

   Zadanie 1.3. (0–4)

   Wyprowadź wzór na wartość prędkości granicznej $v_E$ spadania kropli wyrażoną przez: $R$ (promień kropli), ${\rho }_p$ (gęstość powietrza), ${\rho }_w$ (gęstość wody), $g$ (przyśpieszenie ziemskie) i $k$ (stała). Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   1.1. Odpowiedź: B – 2.

   Od $t_A$ do $t_D$ prędkość rosła, więc rosła siła oporu $F_o\propto v^2$ (przeciwnie skierowana do ${\vec{F}}_g$). Siła wypadkowa $F_w=F_g-F_o$ malała → przyśpieszenie malało.

   1.2. Z wykresu: $v_E=v_{gr}$ (prędkość graniczna, od ok. $t_D$ ruch jest jednostajny), $v_B\approx \frac{1}{3}{v}_E$ (przykładowo, zależnie od odczytu).

   Stosunek długości wektorów: $\frac{F_{oE}}{F_{oB}}={\left(\frac{v_E}{v_B}\right)}^2\approx 9$.

   W chwili $t_E$: kropla porusza się z prędkością graniczną, więc ${\vec{F}}_{oE}$ jest skierowana pionowo w górę i równa co do wartości sile ciężkości ${\vec{F}}_g$. W chwili $t_B$: ${\vec{F}}_{oB}$ też w górę, ale ok. 9× krótsza.

   1.3. Warunek prędkości granicznej: ${\vec{F}}_w=0\Rightarrow F_g=F_o$.

   $$m\cdot g=k\cdot {\rho }_p\cdot S\cdot v_E^2$$

   $${\rho }_w\cdot V\cdot g=k\cdot {\rho }_p\cdot \pi R^2\cdot v_E^2$$

   $${\rho }_w\cdot \frac{4}{3}\pi R^3\cdot g=k\cdot {\rho }_p\cdot \pi R^2\cdot v_E^2$$

   $$v_E^2=\frac{4R{\rho }_{w}g}{3k{\rho }_p}$$

   $$\boxed{v_E=\sqrt{\frac{4R{\rho }_{w}g}{3k{\rho }_p}}=2\sqrt{\frac{R{\rho }_{w}g}{3k{\rho }_p}}}$$

   ⚠ Typowa pułapka: Pułapka 1.1 — wybór "C – 3" ("stała siła ciężkości"). NIE: pytanie dotyczy **siły wypadkowej**, nie samej $F_g$. $F_w=F_g-F_o$, a $F_o$ rośnie, więc $F_w$ maleje. Pułapka 1.2 — narysowanie ${\vec{F}}_{oE}$ i ${\vec{F}}_{oB}$ o tej samej długości. NIE: $F_o\propto v^2$, więc stosunek długości = stosunek kwadratów prędkości (∼9 ×). Pułapka 1.3 — pominięcie pola przekroju $S=\pi R^2$ (koło, nie kula). Druga: zapomnienie że masa kropli $m={\rho }_{w}V$, NIE ${\rho }_{p}V$ (gęstość WODY, nie powietrza).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
6. Matura CKE · maj 2024 · zad. 2 6 pkt dynamika bryły sztywnej, moment bezwładności, ruch obrotowo-postępowy, energia kinetyczna

   Zadanie 2.

   Jednorodny walec o masie $m=10\mathrm{kg}$ i promieniu $R$ był ciągnięty siłą o wartości $F=30\mathrm{N}$ po płaskiej poziomej powierzchni. Siła $\vec{F}$ była przyłożona poziomo do uchwytu i prostopadle do osi obrotu walca (zobacz rysunki 1.–3.).

   Do analizy zagadnienia przyjmij model zjawiska, w którym:

   • walec toczył się bez poślizgu,
   • w kierunku poziomym na walec działały tylko: stała siła tarcia statycznego $\vec{T}$ oraz siła $\vec{F}$,
   • siła tarcia $\vec{T}$ między walcem a powierzchnią nie osiągała wartości maksymalnej,
   • pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu,
   • moment bezwładności walca względem jego osi obrotu — będącej osią symetrii walca — wyraża się wzorem $I_0=\frac{1}{2}m{R}^2$,
   • ruch walca rozpatrujemy w inercjalnym układzie odniesienia związanym z ziemią, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym,
   • pomijamy masę osi obrotu walca i masę jego uchwytu.

   Zadanie 2.1. (0–3)

   Całkowitą energię kinetyczną walca w pewnej chwili $t$ ruchu oznaczmy jako $E_{kincalk}$, a energię kinetyczną ruchu postępowego walca w tej samej chwili $t$ oznaczmy $E_{kinpost}$.

   Oblicz iloraz $\frac{E_{kinpost}}{E_{kincalk}}$. Zapisz obliczenia. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.

   Zadanie 2.2. (0–3)

   Oblicz wartość przyśpieszenia (liniowego) środka masy walca. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   2.1. Energia kinetyczna toczącego się bez poślizgu walca:

   $$E_{kincalk}=\underset{E_{kinpost}}{\underbrace{\frac{1}{2}m{v}^2}}+\underset{E_{kinobr}}{\underbrace{\frac{1}{2}{I}_0{\omega }^2}}$$

   Z warunku toczenia bez poślizgu: $v=\omega R\Rightarrow \omega =v/R$.

   $$E_{kinobr}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}m{R}^2\cdot \frac{v^2}{R^2}=\frac{1}{4}m{v}^2$$

   $$E_{kincalk}=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{4}m{v}^2=\frac{3}{4}m{v}^2$$

   $$\boxed{\frac{E_{kinpost}}{E_{kincalk}}=\frac{\frac{1}{2}m{v}^2}{\frac{3}{4}m{v}^2}=\frac{2}{3}}$$

   2.2. Układamy równania:

   • II zasada Newtona (ruch postępowy): $F-T=ma$
   • II zasada Newtona dla obrotu (oś walca): $T\cdot R=I_0\cdot \epsilon =\frac{1}{2}m{R}^2\cdot \frac{a}{R}$ → $T=\frac{1}{2}ma$

   Podstawiamy:

   $$F-\frac{1}{2}ma=ma$$
   $$F=\frac{3}{2}ma$$
   $$a=\frac{2F}{3m}=\frac{2\cdot 30}{3\cdot 10}=2m/{\mathrm{s}}^2$$

   $$\boxed{a=2m/{\mathrm{s}}^2}$$

   ⚠ Typowa pułapka: Pułapka 2.1 — pominięcie energii obrotowej. Walec toczy się — ma DWIE składowe energii kinetycznej. $E_{kinpost}=\frac{1}{2}m{v}^2$ to **nie całość**. Pułapka 2.2 — założenie że $a=F/m=3$ m/s² (bez tarcia). Siła tarcia statycznego, mimo że nie wykonuje pracy (punkt styku chwilowo spoczywa), zmniejsza wypadkową siłę napędową — bo to ona wytwarza moment obrotowy. Pułapka — kierunek siły tarcia. Tarcie statyczne tu działa **przeciwnie do $\vec{F}$** (tj. wstecz), bo to ono zapewnia moment obrotowy potrzebny do toczenia bez poślizgu (gdyby tarcia nie było, walec by się ślizgał, a uchwyt by go ciągnął bez obrotu).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
7. Matura CKE · maj 2024 · zad. 3 8 pkt ruch harmoniczny, drgania, energia mechaniczna, siła sprężystości

   Zadanie 3.

   Ciążarek o masie $m=100,0\mathrm{g}$ jest zawieszony na sprężynie i wykonuje drgania harmoniczne w kierunku pionowym, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym. Przyjmujemy, że ciążarek drga wzdłuż osi $y$ skierowanej pionowo w górę. Po pionowym wychyleniu ciążarka z położenia równowagi i puszczeniu go w chwili $t_0=0$ ciążarek wykonuje ruch harmoniczny. Na wykresie przedstawiono zależność współrzędnej prędkości $v_y$ ciążarka od czasu $t$. Maksymalne przyspieszenie ciążarka ma wartość $a_{max}=9,81m/{\mathrm{s}}^2$.

   Przyjmij uproszczony model zjawiska, w którym:

   • na ciążarek działają tylko siła sprężystości ${\vec{F}}_s$ sprężyny i siła ciężkości ${\vec{F}}_g$,
   • wartość siły sprężystości, z jaką sprężyna działa na ciążarek, jest wprost proporcjonalna do wychylenia sprężyny (rozciąg lub ściśnięcia) względem jej długości swobodnej (gdy nie obciążono jej masą),
   • układ odniesienia związany z ziemią jest inercjalny,
   • pomijamy przyśpieszenie ziemskie ma wartość ok. $9,81m/{\mathrm{s}}^2$.

   Zadanie 3.1. (0–2)

   Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

   		P / F
   1.	W chwili $t=0,2$ s siły działające na ciążarek się równoważą.	P / F
   2.	Energia kinetyczna ciążarka w chwili $t=0,4$ s ma równą energii kinetycznej ciążarka w chwili $t=0$.	P / F
   3.	Wartość przyśpieszenia ciążarka w chwili $t=0,4$ s jest mniejsza niż w chwili $t=0$.	P / F

   Zadanie 3.2. (0–2)

   Siły działające na ciążarek się równoważą, gdy ciążarek znajduje się w punkcie o współrzędnej $y=0$, natomiast najwyższe i najniższe położenia ciążarka znajdują się – odpowiednio – w punktach o współrzędnych: $y=A$ oraz $y=-A$. W pewnej chwili ruchu drgającego ciążarek znalazł się w punkcie $P$ (zobacz schematyczny rysunek w arkuszu).

   Na rysunku narysuj i podpisz siłę sprężystości ${\vec{F}}_s$ i siłę grawitacji ${\vec{F}}_g$ działające na ciążarek w punkcie $P$. Zachowaj relację (większy, równy, mniejszy) między wartościami tych sił i zapisz tę relację – wpisz w wykropkowane miejsce poniżej odpowiedni znak wybrany spośród: $>,=,<$.

   $$F_s\dots \dots \dots F_g$$

   Zadanie 3.3. (0–4)

   Oblicz wartość siły sprężystości działającej na ciążarek w chwili, gdy znajduje się on w najniższym położeniu podczas ruchu drgającego. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   3.1.

   1. W $t=0,2$ s — z wykresu $v_y=0$ (ekstremum prędkości lub zero?). Jeśli $v_y$ osiąga maksimum, to ciążarek jest w $y=0$ (równowaga) → siły się równoważą → P. Jeśli $v_y=0$, to ciążarek jest w skrajnym położeniu → siły się NIE równoważą → F. (Z wykresu $v_y(t)$ w tym arkuszu okres $T=0,8$ s, $v_y$ ma zera w $t=0$, $0,4$, $0,8$ s. W $t=0,2$ s mamy ekstremum $v_y\to$ ciążarek w równowadze.) P.

   2. Energie kinetyczne w $t=0$ i $t=0,4$ s — oba są w skrajnych położeniach, $v=0$ → $E_k=0$ w obu. → P.

   3. Wartość przyśpieszenia w $t=0,4$ s vs $t=0$. Oba to skrajne wychylenia (po $\pm A$). $|a|={\omega }^2|y|$, $|y|=A$ w obu → $|a|$ TAKA SAMA → twierdzenie "mniejsza" jest F.

   3.2. Punkt $P$ leży poniżej $y=0$ (w obszarze $y<0$, blisko $-A$). Sprężyna jest mniej rozciągnięta niż w punkcie równowagi → $F_s$ skierowana w górę, ale mniejsza niż w $y=0$.

   W $P$: ${\vec{F}}_s$ skierowana w górę (sprężyna ciągnie ciążarek do góry), ${\vec{F}}_g$ skierowana w dół.

   Skoro ciążarek znajduje się poniżej $y=0$ (poniżej punktu równowagi), to siła sprężystości jest mniejsza niż w punkcie równowagi, gdzie była równa $F_g$. Stąd:

   $$\boxed{F_s<F_g}$$

   Strzałka ${\vec{F}}_s$ (w górę) krótsza od strzałki ${\vec{F}}_g$ (w dół).

   3.3. W najniższym położeniu $y=-A$:

   • przyśpieszenie maksymalne $a_{max}=9,81m/{\mathrm{s}}^2$, skierowane w górę (do położenia równowagi).
   • $F_s$ (w górę) – $F_g$ (w dół) = $m\cdot a_{max}$ (II zasada N., dodatni kierunek = w górę)
   • $F_s=m(g+a_{max})=0,1\cdot (9,81+9,81)=0,1\cdot 19,62\approx 1,96\mathrm{N}$

   $$\boxed{F_s\approx 1,96\mathrm{N}}$$

   ⚠ Typowa pułapka: Pułapka 3.1 — pomylenie "ekstremum $v_y$" z "$v_y=0$". W punkcie równowagi $|v|$ jest **MAKSYMALNE**, w skrajnych $v=0$. Sprawdź uważnie wykres. Pułapka 3.2 — narysowanie $F_s$ skierowanej w dół. Sprężyna ZAWSZE ciągnie ciążarek W STRONĘ pozycji niezdeformowanej. Sprężyna jest rozciągnięta (ciążarek w dole) → ciągnie w górę. Pułapka 3.3 — pominięcie ciężaru. $F_s$ w skrajnym dolnym punkcie to NIE $m\cdot a_{max}$. Musisz uwzględnić, że $F_g$ działa stale w dół, a wypadkowa $F_s-F_g=m\cdot a$. Stąd $F_s=m(g+a_{max})$. Pułapka — założenie że $a_{max}=g$ to przypadek. Dla tej sprężyny $a_{max}={\omega }^{2}A$. Tutaj akurat dało dokładnie $g$, ale to wybór danych — nie reguła fizyczna.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
8. Matura CKE · maj 2024 · zad. 5 5 pkt grawitacja, prawo powszechnego ciążenia, punkt Lagrange'a, równowaga sił

   Zadanie 5.

   Masa Ziemi $M_Z$ jest 81,28 razy większa od masy Księżyca $M_K$. Średnia odległość między środkami Ziemi i Księżyca wynosi $|ZK|=384400\mathrm{km}$.

   Zadanie 5.1. (0–2)

   Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

   		P / F
   1.	Wartość siły, z jaką Ziemia działa na Księżyc, jest większa od wartości siły, z jaką Księżyc działa na Ziemię.	P / F
   2.	Średnie przyśpieszenie grawitacyjne Księżyca w polu Ziemi jest mniejsze od średniego przyśpieszenia grawitacyjnego Ziemi w polu Księżyca.	P / F

   Zadanie 5.2. (0–3)

   Oblicz odległość $|ZP|$ punktu $P$, leżącego na odcinku $ZK$, w którym wypadkowa siła grawitacji działająca na ciało próbne pochodząca od Ziemi i Księżyca jest równa zero. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   5.1.

   1. III zasada Newtona: $F_{Z\to K}=F_{K\to Z}$ (siły wzajemnego oddziaływania równe co do wartości). → twierdzenie "większa" = F.

   2. $a=F/m$. Te same siły, ale Ziemia ma $\sim 81$ razy większą masę → $a_Z=F/M_Z$ JEST $\sim 81$ razy mniejsze od $a_K=F/M_K$.

      • "$a_K$ w polu Ziemi" = $G{M}_Z/r^2$ (duże).
      • "$a_Z$ w polu Księżyca" = $G{M}_K/r^2$ (małe).
      • Stąd $a_K>a_Z$ → twierdzenie "$a_K<a_Z$" = F.

   Odpowiedź: FF.

   5.2. W punkcie $P$ między Ziemią a Księżycem siły grawitacji od Z i K na ciało próbne są przeciwnie skierowane i równe co do wartości.

   Oznaczmy $|ZP|=x$, $|PK|=d-x$, gdzie $d=384400$ km. Warunek:

   $$\frac{G{M}_{Z}m}{x^2}=\frac{G{M}_{K}m}{(d-x{)}^2}$$

   $$\frac{M_Z}{M_K}=\frac{x^2}{(d-x{)}^2}=81,28$$

   $$\frac{x}{d-x}=\sqrt{81,28}\approx 9,016$$

   $$x=9,016(d-x)=9,016d-9,016x$$

   $$10,016x=9,016d$$

   $$x=\frac{9,016}{10,016}\cdot d\approx 0,9001\cdot 384400\approx 346000\mathrm{km}$$

   $$\boxed{|ZP|\approx 346000\mathrm{km}\approx 3,46\cdot 10^5\mathrm{km}}$$

   (Sprawdzenie: $|PK|\approx 38400$ km — punkt znacznie bliżej Księżyca, mimo że Księżyc jest ~81× lżejszy. To słuszne, bo siła $\propto 1/r^2$, a stosunek odległości = $\sqrt{81}=9$.)

   ⚠ Typowa pułapka: Pułapka 5.1.1 — myślenie "Ziemia jest większa, więc działa silniej". III zasada N. mówi że siły wzajemne SĄ RÓWNE. Co innego — **skutki** (przyśpieszenia) różnią się, bo $a=F/m$. Pułapka 5.1.2 — pomylenie "$a$ Księżyca w polu Z" vs "$a$ Ziemi w polu K". W obu przypadkach jest ta sama $F$ wzajemna, ale dzielimy przez masę DRUGIEGO ciała. Stąd ciało lżejsze ma większe $a$. Pułapka 5.2 — wyciągnięcie pierwiastka tylko z liczby, nie z całego wyrażenia. $\frac{x}{d-x}=\sqrt{M_Z/M_K}$, NIE $\sqrt{x/(d-x)}=M_Z/M_K$. Pułapka 5.2 — położenie punktu PO ZEWNĘTRZNEJ stronie Księżyca (tj. $x>d$). Tam siły byłyby SKIEROWANE W TĘ SAMĄ STRONĘ (obie do środka układu Z-K), więc nigdy się nie zrównoważą.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
9. Matura CKE · maj 2024 · zad. 8 4 pkt termodynamika, I zasada termodynamiki, cykl silnika cieplnego, gaz doskonały

   Zadanie 8.

   Cykl pracy silnika cieplnego, którego czynnikiem roboczym jest pewna ilość gazu doskonałego jednoatomowego, przedstawiono na wykresie zależności ciśnienia $p$ od objętości $V$ (oś pozioma: $V$, w jednostkach $V_1$; oś pionowa: $p$, w jednostkach $p_1$). Cykl: $G_1\to G_2\to G_3\to G_4\to G_1$, gdzie:

   • $G_1=(V_1,p_1)$,
   • $G_2=(V_1,3p_1)$ — przemiana izochoryczna $1\to 2$ (V = const, ciśnienie rośnie 3×),
   • $G_3=(3V_1,3p_1)$ — przemiana izobaryczna $2\to 3$ (p = const, objętość rośnie 3×),
   • $G_4=(3V_1,p_1)$ — przemiana izochoryczna $3\to 4$ (V = const, p maleje),
   • $4\to 1$ — przemiana izobaryczna (p = const, V maleje).

   Ciepło molowe gazu w stałej objętości: $C_V=\frac{3}{2}R$. Sumaryczna wartość bezwzględna ciepła odprowadzonego przez gaz w cyklu wynosi $|Q_{odd}|=9,5p_1{V}_1$.

   Zadanie 8.1. (0–1)

   Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Sumaryczne ciepło pobrane przez gaz w jednym cyklu pracy silnika wynosi:

   A. $5,5p_1{V}_1$B. $7,5p_1{V}_1$C. $11,5p_1{V}_1$D. $13,5p_1{V}_1$

   Zadanie 8.2. (0–3)

   Wyprowadź wzór na wartość bezwzględną zmiany energii wewnętrznej gazu $|\Delta U_{4\to 1}|$ w przemianie z $G_4$ do $G_1$. Wynik podaj w jednostkach $p_1{V}_1$. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   8.1. Praca wykonana w cyklu = pole pod krzywą = pole prostokąta $G_2{G}_3{G}_4{G}_1$ projektowane na oś $V$:

   $$W_{cykl}=\Delta p\cdot \Delta V=(3p_1-p_1)(3V_1-V_1)=2p_1\cdot 2V_1=4p_1{V}_1$$

   I zasada termodynamiki dla cyklu: $\Delta U=0$ (powrót do stanu początkowego), więc $Q_{netto}=W$.

   $$Q_{pob}-|Q_{odd}|=W_{cykl}$$
   $$Q_{pob}=W_{cykl}+|Q_{odd}|=4+9,5=13,5p_1{V}_1$$

   Odpowiedź: D. $13,5p_1{V}_1$.

   8.2. Przemiana $4\to 1$ jest izobaryczna ($p=p_1$, $V$ maleje z $3V_1$ do $V_1$).

   Z równania stanu gazu doskonałego: $pV=nRT$. Dla stanu $G_4$: $T_4=\frac{p_1\cdot 3V_1}{nR}=\frac{3p_1{V}_1}{nR}$. Dla $G_1$: $T_1=\frac{p_1{V}_1}{nR}$.

   $$\Delta T_{4\to 1}=T_1-T_4=\frac{p_1{V}_1}{nR}-\frac{3p_1{V}_1}{nR}=-\frac{2p_1{V}_1}{nR}$$

   Zmiana energii wewnętrznej:

   $$\Delta U_{4\to 1}=n{C}_V\Delta T=n\cdot \frac{3}{2}R\cdot \left(-\frac{2p_1{V}_1}{nR}\right)=-3p_1{V}_1$$

   $$\boxed{|\Delta U_{4\to 1}|=3p_1{V}_1}$$

   (Wartość bezwzględna, bo zmiana jest ujemna — gaz się ochładza.)

   ⚠ Typowa pułapka: Pułapka 8.1 — pominięcie faktu, że pole pod cyklem jest pracą NETTO. Często liczy się tylko pracę w jednej przemianie. Cykl = pole zamkniętego konturu na wykresie $p$-$V$. Pułapka 8.1 — pomylenie znaków $Q_{pob}$ i $|Q_{odd}|$. I zasada: $Q_{pob}=W+|Q_{odd}|$ (ciepło pobrane = praca + ciepło odprowadzone). NIE odwrotnie. Pułapka 8.2 — założenie że $\Delta U$ zależy od ścieżki. NIE: $\Delta U=n{C}_V\Delta T$ ZAWSZE dla gazu doskonałego, niezależnie od typu przemiany. Klucz to różnica temperatur (lub równoważnie różnica $pV$). Pułapka 8.2 — użycie $C_p$ zamiast $C_V$. Energia wewnętrzna gazu doskonałego = TYLKO energia kinetyczna cząsteczek = $n{C}_{V}T$ ($C_V$, nie $C_p$). $C_p$ pojawia się w izobarycznym przy obliczeniu **ciepła** ($Q=n{C}_p\Delta T$), ale $\Delta U$ ZAWSZE liczymy z $C_V$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
10. Matura CKE · maj 2023 · zad. 2 2 pkt dynamika, zderzenie sprężyste, zasada zachowania pędu, zasada zachowania energii kinetycznej, krążki jednorodne, siły wzajemnego oddziaływania

    Krążek K1 porusza się w inercjalnym układzie odniesienia $\mathcal{U}$ ze stałą prędkością $\vec{v}$, a krążek K2 spoczywa. Środek krążka K2 leży na prostej wyznaczającej kierunek ruchu krążka K1. W pewnej chwili krążek K1 uderza w krążek K2.

    Na rysunku 1. w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono poruszające się krążek K1 i spoczywający krążek K2. Oznaczono prędkość $\vec{v}$ krążka K1 i składowe ${\vec{v}}_x,{\vec{v}}_y$ tej prędkości. Na rysunku 2. przedstawiono moment zderzenia się obu krążków.

    Krążki są jednorodne, a ich masy są sobie równe. Pomijamy tarcie między krążkami K1 i K2 oraz między krążkami a podłożem.

    Zadanie 2.1. (0–1)

    Na rysunku 2. poprawnie narysuj parę sił wzajemnego oddziaływania pomiędzy krążkami podczas ich zderzenia. Każda z sił przyłożona — odpowiednio — w punkcie środka masy krążka K1 lub krążka K2. Zachowaj odpowiednie kierunki i zwroty tych sił oraz relację (większy, równy, mniejszy) między ich wartościami.

    Zadanie 2.2. (0–1)

    Załóżmy, że zderzenie krążków K1 i K2 było doskonale sprężyste.

    Na którym rysunku (spośród A–D) prawidłowo narysowano i opisano wektory prędkości krążków bezpośrednio po zderzeniu w układzie odniesienia $\mathcal{U}$? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

    A. $|{\vec{v}}_1^{\prime }|=|{\vec{v}}_2^{\prime }|=\frac{|\vec{v}|}{2}$ (krążki rozjeżdżają się symetrycznie)B. ${\vec{v}}_1^{\prime }=0\text{i}{\vec{v}}_2^{\prime }=\vec{v}$ (K1 zatrzymuje się, K2 odjeżdża z prędkością K1)C. ${\vec{v}}_1^{\prime }={\vec{v}}_y,{\vec{v}}_2^{\prime }={\vec{v}}_x$ (K1 odbija się prostopadle, K2 odjeżdża wzdłuż $x$)D. ${\vec{v}}_1^{\prime }=\frac{{\vec{v}}_y}{2},{\vec{v}}_2^{\prime }=\frac{{\vec{v}}_x}{2}$
    Pokaż odpowiedź

    Zadanie 2.1.

    Siły wzajemnego oddziaływania (III zasada dynamiki Newtona): wektory ${\vec{F}}_{12}$ i ${\vec{F}}_{21}$ przyłożone w środkach mas krążków, leżące na prostej łączącej środki krążków, o przeciwnych zwrotach i równych wartościach: $|{\vec{F}}_{12}|=|{\vec{F}}_{21}|$. Siła działająca na K2 (od strony K1) skierowana jest na zewnątrz od K1, a siła na K1 (od strony K2) — przeciwnie.

    Zadanie 2.2.

    Poprawna odpowiedź: C (analog rysunku, na którym K1 odbija się ruchem o składowej ${\vec{v}}_y$, a K2 odjeżdża z prędkością ${\vec{v}}_x$).

    Uzasadnienie: dla zderzenia centralnego, doskonale sprężystego dwóch krążków o równych masach zachowane są pęd i energia kinetyczna. W zderzeniu niecentralnym (oś zderzenia wzdłuż linii środków) tylko składowa prędkości wzdłuż linii środków (składowa ${\vec{v}}_x$ — wzdłuż osi zderzenia) zostaje przekazana K2. Składowa prostopadła ${\vec{v}}_y$ pozostaje przy K1:

    $${\vec{v}}_1^{\prime }={\vec{v}}_y,{\vec{v}}_2^{\prime }={\vec{v}}_x$$

    Sprawdzenie zasad zachowania:

    • pęd: $m\vec{v}=m({\vec{v}}_x+{\vec{v}}_y)=m{\vec{v}}_x+m{\vec{v}}_y$ ✓
    • energia: $\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2)$ ✓

    ⚠ Typowa pułapka: - III zasada Newtona: siły wzajemnego oddziaływania mają **zawsze** tę samą wartość, bez względu na różnicę mas — częsty błąd to rysowanie dłuższego wektora przy "uderzającym". - Zderzenie centralne sprężyste z równymi masami: pełne przekazanie składowej prędkości wzdłuż linii środków. To jest klasyczny wynik bilardowy. - Składowa prostopadła do osi zderzenia nie ulega zmianie — kontakt krążków nie wytwarza siły bocznej (brak tarcia).

    Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
11. Matura CKE · maj 2023 · zad. 3 6 pkt dynamika bryły sztywnej, moment bezwładności walca, ruch obrotowy, zasada zachowania energii, II zasada dynamiki dla obrotu, walec na stole

    Wzdłuż osi jednorodnego walca o masie $m$ i promieniu $R$ przechodzi cienki pręt, wokół którego walec może się obracać. Do tego pręta przymocowano cienką nierozciągliwą linkę, którą przewieszono przez bloczek. Na końcu linki zawieszono ciężarek o masie $m$ (równej masie walca). Początkowo walec był unieruchomiony i spoczywał na stole. W pewnej chwili walec — ciągnięty przez linkę — rozpoczął ruch i toczył się dalej bez poślizgu po poziomej powierzchni stołu. Opisaną sytuację ilustruje rysunek 1. i 2.

    Do analizy zagadnienia przyjmij model zjawiska, w którym:

    • moment bezwładności walca względem jego osi symetrii jest równy $I=\frac{1}{2}m{R}^2$
    • pomijamy masę linki, masę bloczka oraz masę pręta na osi symetrii walca
    • zakładamy, że ruch walca i ciężarka odbywa się w układzie inercjalnym
    • siła tarcia statycznego $T$ między walcem a powierzchnią stołu nie osiągnęła wartości maksymalnej
    • pomijamy tarcie (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu układu.

    Zadanie 3.1. (0–2)

    Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

    Nr	Stwierdzenie	P/F
    1.	Gdy walec toczy się bez poślizgu, to w czasie jednego obrotu przebywa drogę o długości $2\pi R$.	P / F
    2.	Energia kinetyczna ruchu postępowego walca jest większa od energii kinetycznej ruchu obrotowego walca względem jego osi.	P / F
    3.	Energia potencjalna opadającego ciężarka zamienia się w całości na energię kinetyczną ruchu postępowego walca i ruchu obrotowego walca.	P / F

    Zadanie 3.2. (0–4)

    Wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć wartość $a$ przyśpieszenia ciężarka w zależności tylko od wartości $g$ przyśpieszenia ziemskiego. Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj (w ramce na dole strony) postać tego wzoru. Wskazówka: skorzystaj z zasady zachowania energii mechanicznej układu lub z drugiej zasady dynamiki dla ruchu postępowego walca, dla ruchu obrotowego walca i dla ruchu postępowego ciężarka.

    Pokaż odpowiedź

    Zadanie 3.1.

    Nr	Stwierdzenie	P/F
    1.	Walec toczy się bez poślizgu — w czasie jednego obrotu przebywa $2\pi R$	P
    2.	Dla jednorodnego walca: $E_{k,\text{post}}=\frac{1}{2}m{v}^2$, $E_{k,\text{obr}}=\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}m{R}^2\cdot (v/R{)}^2=\frac{1}{4}m{v}^2$, więc $E_{k,\text{post}}>E_{k,\text{obr}}$	P
    3.	Energia potencjalna ciężarka zamienia się także w energię kinetyczną ciężarka i wykonuje pracę przeciw tarciu statycznemu (które nie wykonuje pracy, bo punkt styku nie ślizga), ale ciężarek SAM też ma energię kinetyczną — więc NIE w całości na walec	F

    Zadanie 3.2.

    Linka jest przymocowana do osi walca (do pręta na osi symetrii), zatem siła naciągu linki $N$ działa na walec wzdłuż osi, ale ramię względem osi walca = 0. Tarcie statyczne $T$ działa w punkcie styku z podłożem (ramię $R$).

    Dla walca (ruch postępowy): $N-T=m{a}_w$, gdzie $a_w$ to przyspieszenie środka masy walca.

    Dla walca (ruch obrotowy): $T\cdot R=I\epsilon =\frac{1}{2}m{R}^2\cdot \epsilon$. Toczenie bez poślizgu: $a_w=\epsilon R$, więc $T=\frac{1}{2}m{a}_w$.

    Dla ciężarka: $mg-N=ma$, gdzie $a$ – przyspieszenie ciężarka.

    Więź geometryczna: linka jest nierozciągliwa i nawinięta tak, że prędkość punktu osi walca = prędkość linki = prędkość ciężarka. Zatem $a=a_w$.

    Podstawiając $T=\frac{1}{2}ma$ do równania walca:

    $$N-\frac{1}{2}ma=ma\Rightarrow N=\frac{3}{2}ma$$

    Z równania ciężarka:

    $$mg-\frac{3}{2}ma=ma\Rightarrow mg=\frac{5}{2}ma$$

    $$\boxed{a=\frac{2}{5}g}$$

    ⚠ Typowa pułapka: - Linka mocowana do **osi** walca, nie do jego obwodu — siła naciągu nie tworzy momentu względem osi walca. Moment obrotowy daje TYLKO tarcie statyczne w punkcie styku. - Warunek toczenia bez poślizgu: $v=\omega R$, $a=\epsilon R$. Bez tego nie zlinkujesz ruchu obrotowego z postępowym. - $a_w=a$ tylko dlatego, że linka idzie z osi walca do ciężarka — gdyby była nawinięta na walec (przy obwodzie), $a_w\ne a$. - Często mylone: tarcie statyczne NIE wykonuje pracy (punkt styku ma chwilową prędkość 0) — energia jest zachowana, ale "redystrybuowana" między walec a ciężarek.

    Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
12. Matura CKE · maj 2023 · zad. 6 5 pkt termodynamika, przemiana izobaryczna, przemiana izochoryczna, gaz doskonały jednoatomowy, równanie stanu, ciepło molowe, I zasada termodynamiki

    W cylindrze szczelnie zamkniętym ruchomym tłokiem znajduje się $n=1$ mol jednoatomowego gazu doskonałego. Ten gaz poddano kolejno dwóm przemianom.

    • W pierwszej przemianie gaz ogrzewano, utrzymując stałą objętość, i dostarczono do tego gazu $Q_1=100\text{J}$ ciepła.
    • W drugiej przemianie gaz ogrzewano, utrzymując stałe ciśnienie, i dostarczono do tego gazu $Q_2=100\text{J}$ ciepła, czyli tę samą ilość ciepła, ile dostarczono w pierwszej przemianie.

    Ciepło molowe tego gazu przy stałej objętości wynosi $C_V=\frac{3}{2}R$, gdzie $R$ jest stałą gazową.

    Zadanie 6.1. (0–1)

    Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

    Nr	Stwierdzenie	P/F
    1.	W pierwszej przemianie wartość siły parcia gazu na tłok jest wprost proporcjonalna do temperatury bezwzględnej tego gazu.	P / F
    2.	W drugiej przemianie objętość gazu w cylindrze jest wprost proporcjonalna do średniej energii kinetycznej cząsteczek tego gazu.	P / F

    Zadanie 6.2. (0–1)

    Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C i jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

    Przyrost temperatury gazu w pierwszej przemianie oznaczamy jako $\Delta T_1$, a w drugiej przemianie – jako $\Delta T_2$.

    Przyrosty temperatury gazu w opisanych przemianach spełniają relację

    A. $\Delta T_1>\Delta T_2$ B. $\Delta T_1<\Delta T_2$ ponieważ przyrost energii wewnętrznej gazu jest C. $\Delta T_1=\Delta T_2$

    1. taki sam w obu przemianach. 2. większy w pierwszej przemianie. 3. większy w drugiej przemianie.

    Zadanie 6.3. (0–3)

    Oblicz pracę, którą wykonała siła parcia gazu na tłok w drugiej przemianie. Zapisz obliczenia.

    Pokaż odpowiedź

    Zadanie 6.1.

    1. W izochorze: $p\cdot V=nRT$, $V=\text{const}$, więc $p=\frac{nR}{V}T$ — ciśnienie wprost proporcjonalne do $T$. Siła parcia $F=p\cdot S$ (gdzie $S$ – pole tłoka, stałe), więc $F\propto T$. P
    2. W izobarze: $V=\frac{nR}{p}T$, więc $V\propto T$. Średnia energia kinetyczna cząsteczki: $⟨E_k⟩=\frac{3}{2}{k}_{B}T\propto T$. Więc $V\propto ⟨E_k⟩$. P

    Zadanie 6.2.

    Izochora: $W=0$, więc cała energia ciepła idzie na $\Delta U$: $Q_1=n{C}_V\Delta T_1$, czyli $\Delta T_1=Q_1/(n{C}_V)$.

    Izobara: $Q_2=n{C}_p\Delta T_2$, gdzie $C_p=C_V+R=\frac{5}{2}R$. Część ciepła idzie na pracę, część na $\Delta U$: $\Delta U_2=n{C}_V\Delta T_2<Q_2$.

    Skoro $Q_1=Q_2$ i $C_p>C_V$, to:

    $$\Delta T_2=\frac{Q_2}{n{C}_p}<\frac{Q_1}{n{C}_V}=\Delta T_1$$

    W izochorze całe ciepło idzie na wzrost energii wewnętrznej — w izobarze część zużywana jest na pracę. Zatem $\Delta U_1>\Delta U_2$.

    Odpowiedź: A – 2.

    Zadanie 6.3.

    W izobarze: $Q_2=\Delta U_2+W_2$, gdzie $W_2$ – praca gazu na tłok.

    $$\Delta U_2=n{C}_V\Delta T_2$$

    $$Q_2=n(C_V+R)\Delta T_2=n{C}_p\Delta T_2$$

    Stosunek pracy do ciepła:

    $$\frac{W_2}{Q_2}=\frac{nR\Delta T_2}{n{C}_p\Delta T_2}=\frac{R}{C_p}=\frac{R}{\frac{5}{2}R}=\frac{2}{5}$$

    $$W_2=\frac{2}{5}{Q}_2=\frac{2}{5}\cdot 100\text{J}=40\text{J}$$

    Odpowiedź: $W_2=40\text{J}$.

    ⚠ Typowa pułapka: - Dla jednoatomowego gazu doskonałego: $C_V=\frac{3}{2}R$, $C_p=C_V+R=\frac{5}{2}R$. - W izochorze $W=0$, w izobarze $W=p\Delta V=nR\Delta T$. - I zasada termodynamiki: $\Delta U=Q-W$ (konwencja CKE: $W$ = praca wykonana NAD gazem) lub $Q=\Delta U+W$ (W = praca wykonana PRZEZ gaz). Uważać na znak! - Energia wewnętrzna gazu doskonałego zależy TYLKO od temperatury: $U=n{C}_{V}T$, niezależnie od przemiany. - Częsta pomyłka: stosowanie $C_V$ zamiast $C_p$ przy obliczaniu $\Delta T$ w izobarze.

    Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
13. Matura CKE · maj 2023 · zad. 7 7 pkt pole magnetyczne, siła Lorentza, ruch po okręgu, proton w polu magnetycznym, indukcja magnetyczna, zachowanie energii, dynamika ruchu krzywoliniowego

    Proton poruszał się w próżni, w polu magnetycznym po torze, który składał się z półokręgów $AF$, $FB$, $BE$, $EC$, $CD$ (zobacz rysunek). Na każdym z tych półokręgów wektor indukcji magnetycznej był prostopadły do płaszczyzny ruchu protonu i miał stałą wartość, ale dla różnych półokręgów wartości te były różne i wynosiły – odpowiednio – $B_{AF}$, $B_{FB}$, $B_{BE}$, $B_{EC}$, $B_{CD}$.

    W chwili początkowej $t_A=0$ proton znajdował się w punkcie $A$ i miał prędkość $\vec{v}$ (prostopadłą do wektora indukcji magnetycznej). Dalej proton poruszał się po opisanym torze i po pewnym czasie uderzył w tarczę znajdującą się w punkcie $D$. Wartość wektora indukcji magnetycznej na półokręgu $B_{AF}$ wynosiła $0,2\text{T}$. Długości odcinków na poniższym rysunku spełniają równość: $|AB|=|BC|=|CS|=|SD|=|DE|=|EF|$ oraz $|AD|=1\text{m}$.

    W zadaniach 7.1.–7.3. pomijamy siłę grawitacji działającą na proton.

    Zadanie 7.1. (0–2)

    Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

    Nr	Stwierdzenie	P/F
    1.	Wektor indukcji pola magnetycznego wzdłuż całego toru ruchu protonu ma zwrot przed płaszczyznę rysunku (tzn. w stronę patrzącego).	P / F
    2.	Wartość siły magnetycznej Lorentza działającej na proton jest stała na całej długości toru od punktu $A$ do punktu $D$.	P / F
    3.	Czas ruchu protonu po każdym z półokręgów $AF$, $FB$, $BE$, $EC$, $CD$ jest taki sam.	P / F

    Zadanie 7.2. (0–2)

    Wykaż, że wartość prędkości protonu w ruchu po każdym z półokręgów była stała. Powołaj się na:

    • odpowiednie własności siły działającej na proton oraz
    • zasady dynamiki albo odpowiednie twierdzenie o energii kinetycznej.

    Zadanie 7.3. (0–3)

    Oblicz wartość $B_{CD}$ wektora indukcji pola magnetycznego działającego na proton, gdy poruszał się on po półokręgu $CD$. Zapisz obliczenia. Wskazówka: Wartość prędkości protonu poruszającego się po torze $AFBECD$ była stała.

    Pokaż odpowiedź

    Zadanie 7.1.

    Aby proton (ładunek dodatni) z prędkością $\vec{v}$ (w prawo, wzdłuż $AD$) skręcił w pierwszym półokręgu $AF$ (na rysunku górą, w lewo), siła Lorentza $\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$ musi działać "w górę". Z reguły prawej dłoni: $\vec{B}$ jest skierowane za płaszczyznę rysunku (od patrzącego), NIE przed nią.

    1. Zwrot przed płaszczyznę — fałsz, jest za płaszczyznę (lub można argumentować: zwroty się zmieniają na różnych półokręgach, bo proton skręca raz w lewo, raz w prawo). F
    2. Siła Lorentza $F=qvB$. Prędkość $v$ jest stała (siła zawsze prostopadła do $v$, nie wykonuje pracy), ale $B$ jest różne na różnych półokręgach, więc $F$ jest różna. F
    3. Czas półobiegu: $t=\pi r/v$. Promienie półokręgów są różne ($|AB|,|AF|$ różne), więc czasy też różne. F

    Zadanie 7.2.

    Siła Lorentza ${\vec{F}}_L=q\vec{v}\times \vec{B}$ jest zawsze prostopadła do prędkości $\vec{v}$. Z twierdzenia o energii kinetycznej:

    $$\Delta E_k=W=\int \vec{F}\cdot d\vec{s}$$

    Ponieważ $d\vec{s}\parallel \vec{v}$, a ${\vec{F}}_L\perp \vec{v}$, mamy ${\vec{F}}_L\cdot d\vec{s}=0$, czyli siła nie wykonuje pracy. Zatem $\Delta E_k=0$, więc $v=\text{const}$. Wartość prędkości protonu jest stała na każdym półokręgu.

    Zadanie 7.3.

    $|AD|=1\text{m}$ podzielone na 5 równych odcinków: $|AB|=|BC|=|CS|=|SD|=|DE|=|EF|=0,2\text{m}$.

    Promienie półokręgów (każdy = połowa średnicy = długość półokręgu między punktami):

    • $AF$: średnica $|AF|$. Z rysunku $A$ i $F$ są symetryczne — promień $r_{AF}=\frac{|AF|}{2}$. Z geometrii: $|AF|$ ma długość 5 odcinków = 1 m, więc $r_{AF}=0,5\text{m}$.
    • $CD$: średnica $|CD|=|CS|+|SD|=0,4\text{m}$, więc $r_{CD}=0,2\text{m}$.

    Z warunku ruchu po okręgu (siła Lorentza = siła dośrodkowa):

    $$qvB=\frac{m{v}^2}{r}\Rightarrow B=\frac{mv}{qr}$$

    Stosunek dla półokręgów $AF$ i $CD$ (przy stałych $m,v,q$):

    $$\frac{B_{CD}}{B_{AF}}=\frac{r_{AF}}{r_{CD}}$$

    $$B_{CD}=B_{AF}\cdot \frac{r_{AF}}{r_{CD}}=0,2\cdot \frac{0,5}{0,2}=0,2\cdot 2,5=0,5\text{T}$$

    Odpowiedź: $B_{CD}=0,5\text{T}$.

    ⚠ Typowa pułapka: - Siła Lorentza ZAWSZE prostopadła do prędkości → praca = 0 → $v=\text{const}$. - Promień okręgu: $r=mv/(qB)$. Większe $B$ → mniejszy promień. - Geometria toru wymaga uważnego policzenia promieni z podziału $|AD|$ na równe odcinki. - Zwrot $\vec{B}$ wynika z reguły prawej dłoni dla $\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$ (dla dodatniego $q$). - Na różnych półokręgach zwrot $\vec{B}$ może się zmieniać (skręty w przeciwne strony) — sprawdź geometrię toru.

    Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →