Drgania i fale: ruch harmoniczny, akustyka, efekt Dopplera

5 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z fizyki (2023–2025). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

1. Matura CKE · maj 2025 · zad. 3 4 pkt fale dźwiękowe, załamanie fali, długość fali, częstotliwość

   Fala dźwiękowa rozchodzi się w powietrzu z prędkością $v_p=340\text{ m/s}$, a w wodzie — z prędkością $v_w=1450\text{ m/s}$. Fala pada z powietrza na powierzchnię wody i częściowo wnika do wody.

   Zadanie 3.1. (0–1) Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3. (Porównanie długości fali i częstotliwości po przejściu do wody.)

   Zadanie 3.2. (0–3) Wiązka fali pada z powietrza na powierzchnię wody pod kątem ${\alpha }_p=45^{\circ }$. Narysuj dalszy bieg wiązki fali po wniknięciu do wody (kąt załamania zaznacz względem normalnej).

   Pokaż odpowiedź

   3.1. Częstotliwość fali nie zmienia się przy przejściu między ośrodkami (wymusza ją źródło).
   Ponieważ $v_w>v_p$, długość fali w wodzie jest większa: $\lambda =v/f$.

   3.2. Prawo Snella: $\frac{\sin {\alpha }_p}{\sin {\alpha }_w}=\frac{v_p}{v_w}$.
   Podstawiając $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$:
   $$\sin {\alpha }_w=\frac{v_w}{v_p}\sin {\alpha }_p=\frac{1450}{340}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 3,01$$

   Wartość $\sin {\alpha }_w>1$, więc występuje całkowite wewnętrzne odbicie — fala NIE wnika do wody
   pod tym kątem. Faktycznie krytyczny kąt ${\alpha }_{kr}=\arcsin (v_p/v_w)\approx 13,6^{\circ }$.
   Dla ${\alpha }_p=45^{\circ }>{\alpha }_{kr}$ wiązka ulega całkowitemu odbiciu od powierzchni wody.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstsze błędy: pomylenie kierunku — uczniowie często sądzą, że dźwięk w wodzie zwalnia (analogia ze światłem w wodzie), a w rzeczywistości przyspiesza. Pominięcie warunku całkowitego odbicia — bezmyślne podstawianie do prawa Snella daje $\sin >1$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
2. Matura CKE · maj 2025 · zad. 4 5 pkt akustyka, natężenie dźwięku, interferencja fal

   Punktowe źródło dźwięku (małe głośnik kulisty) emituje w sposób izotropowy energię w postaci fali dźwiękowej z mocą $E=40\text{ mJ/s}$. Punkt X znajduje się w odległości $r_X=10\text{ m}$ od źródła.

   Zadanie 4.1. (0–2) Oblicz natężenie fali dźwiękowej $I_X$ w punkcie X. Skorzystaj ze wzoru na pole powierzchni sfery $S=4\pi r^2$.

   Zadanie 4.2. (0–3) Dwa identyczne, spójne głośniki G1 i G2 emitują falę o częstotliwości $f=850\text{ Hz}$ w fazie. Odległości od głośników do punktu obserwacji wynoszą $r_1=10,5\text{ m}$ oraz $r_2=11,5\text{ m}$. Prędkość dźwięku w powietrzu $v_p=340\text{ m/s}$.

   Ustal, czy w punkcie obserwacji wystąpi wzmocnienie czy wygaszenie fali. Uzasadnij odpowiedź obliczeniami.

   Pokaż odpowiedź

   4.1. Natężenie fali:
   $$I_X=\frac{E}{S}=\frac{E}{4\pi r_X^2}=\frac{0,040}{4\pi \cdot 100}\approx 3,18\cdot 10^{-5}{\text{ W/m}}^2$$

   4.2. Długość fali: $\lambda =v_p/f=340/850=0,4\text{ m}$.

   Różnica dróg: $\Delta r=r_2-r_1=1,0\text{ m}$.

   Iloraz $\frac{\Delta r}{\lambda }=\frac{1,0}{0,4}=2,5$, czyli $\Delta r=2,5\lambda =(2k+1)\frac{\lambda }{2}$
   dla $k=2$.

   Różnica dróg jest nieparzystą wielokrotnością połowy długości fali, więc w punkcie obserwacji
   wystąpi wygaszenie (interferencja destruktywna).

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstsze błędy: pominięcie $4\pi$ w polu sfery (użycie $\pi r^2$ jak dla koła), pomylenie warunków wzmocnienia ($\Delta r=k\lambda$) z wygaszeniem ($\Delta r=(k+\frac{1}{2})\lambda$), zapomnienie o spójności fal (warunek konieczny do interferencji).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
3. Matura CKE · maj 2024 · zad. 3 8 pkt ruch harmoniczny, drgania, energia mechaniczna, siła sprężystości

   Zadanie 3.

   Ciążarek o masie $m=100,0\mathrm{g}$ jest zawieszony na sprężynie i wykonuje drgania harmoniczne w kierunku pionowym, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym. Przyjmujemy, że ciążarek drga wzdłuż osi $y$ skierowanej pionowo w górę. Po pionowym wychyleniu ciążarka z położenia równowagi i puszczeniu go w chwili $t_0=0$ ciążarek wykonuje ruch harmoniczny. Na wykresie przedstawiono zależność współrzędnej prędkości $v_y$ ciążarka od czasu $t$. Maksymalne przyspieszenie ciążarka ma wartość $a_{max}=9,81m/{\mathrm{s}}^2$.

   Przyjmij uproszczony model zjawiska, w którym:

   • na ciążarek działają tylko siła sprężystości ${\vec{F}}_s$ sprężyny i siła ciężkości ${\vec{F}}_g$,
   • wartość siły sprężystości, z jaką sprężyna działa na ciążarek, jest wprost proporcjonalna do wychylenia sprężyny (rozciąg lub ściśnięcia) względem jej długości swobodnej (gdy nie obciążono jej masą),
   • układ odniesienia związany z ziemią jest inercjalny,
   • pomijamy przyśpieszenie ziemskie ma wartość ok. $9,81m/{\mathrm{s}}^2$.

   Zadanie 3.1. (0–2)

   Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

   		P / F
   1.	W chwili $t=0,2$ s siły działające na ciążarek się równoważą.	P / F
   2.	Energia kinetyczna ciążarka w chwili $t=0,4$ s ma równą energii kinetycznej ciążarka w chwili $t=0$.	P / F
   3.	Wartość przyśpieszenia ciążarka w chwili $t=0,4$ s jest mniejsza niż w chwili $t=0$.	P / F

   Zadanie 3.2. (0–2)

   Siły działające na ciążarek się równoważą, gdy ciążarek znajduje się w punkcie o współrzędnej $y=0$, natomiast najwyższe i najniższe położenia ciążarka znajdują się – odpowiednio – w punktach o współrzędnych: $y=A$ oraz $y=-A$. W pewnej chwili ruchu drgającego ciążarek znalazł się w punkcie $P$ (zobacz schematyczny rysunek w arkuszu).

   Na rysunku narysuj i podpisz siłę sprężystości ${\vec{F}}_s$ i siłę grawitacji ${\vec{F}}_g$ działające na ciążarek w punkcie $P$. Zachowaj relację (większy, równy, mniejszy) między wartościami tych sił i zapisz tę relację – wpisz w wykropkowane miejsce poniżej odpowiedni znak wybrany spośród: $>,=,<$.

   $$F_s\dots \dots \dots F_g$$

   Zadanie 3.3. (0–4)

   Oblicz wartość siły sprężystości działającej na ciążarek w chwili, gdy znajduje się on w najniższym położeniu podczas ruchu drgającego. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   3.1.

   1. W $t=0,2$ s — z wykresu $v_y=0$ (ekstremum prędkości lub zero?). Jeśli $v_y$ osiąga maksimum, to ciążarek jest w $y=0$ (równowaga) → siły się równoważą → P. Jeśli $v_y=0$, to ciążarek jest w skrajnym położeniu → siły się NIE równoważą → F. (Z wykresu $v_y(t)$ w tym arkuszu okres $T=0,8$ s, $v_y$ ma zera w $t=0$, $0,4$, $0,8$ s. W $t=0,2$ s mamy ekstremum $v_y\to$ ciążarek w równowadze.) P.

   2. Energie kinetyczne w $t=0$ i $t=0,4$ s — oba są w skrajnych położeniach, $v=0$ → $E_k=0$ w obu. → P.

   3. Wartość przyśpieszenia w $t=0,4$ s vs $t=0$. Oba to skrajne wychylenia (po $\pm A$). $|a|={\omega }^2|y|$, $|y|=A$ w obu → $|a|$ TAKA SAMA → twierdzenie "mniejsza" jest F.

   3.2. Punkt $P$ leży poniżej $y=0$ (w obszarze $y<0$, blisko $-A$). Sprężyna jest mniej rozciągnięta niż w punkcie równowagi → $F_s$ skierowana w górę, ale mniejsza niż w $y=0$.

   W $P$: ${\vec{F}}_s$ skierowana w górę (sprężyna ciągnie ciążarek do góry), ${\vec{F}}_g$ skierowana w dół.

   Skoro ciążarek znajduje się poniżej $y=0$ (poniżej punktu równowagi), to siła sprężystości jest mniejsza niż w punkcie równowagi, gdzie była równa $F_g$. Stąd:

   $$\boxed{F_s<F_g}$$

   Strzałka ${\vec{F}}_s$ (w górę) krótsza od strzałki ${\vec{F}}_g$ (w dół).

   3.3. W najniższym położeniu $y=-A$:

   • przyśpieszenie maksymalne $a_{max}=9,81m/{\mathrm{s}}^2$, skierowane w górę (do położenia równowagi).
   • $F_s$ (w górę) – $F_g$ (w dół) = $m\cdot a_{max}$ (II zasada N., dodatni kierunek = w górę)
   • $F_s=m(g+a_{max})=0,1\cdot (9,81+9,81)=0,1\cdot 19,62\approx 1,96\mathrm{N}$

   $$\boxed{F_s\approx 1,96\mathrm{N}}$$

   ⚠ Typowa pułapka: Pułapka 3.1 — pomylenie "ekstremum $v_y$" z "$v_y=0$". W punkcie równowagi $|v|$ jest **MAKSYMALNE**, w skrajnych $v=0$. Sprawdź uważnie wykres. Pułapka 3.2 — narysowanie $F_s$ skierowanej w dół. Sprężyna ZAWSZE ciągnie ciążarek W STRONĘ pozycji niezdeformowanej. Sprężyna jest rozciągnięta (ciążarek w dole) → ciągnie w górę. Pułapka 3.3 — pominięcie ciężaru. $F_s$ w skrajnym dolnym punkcie to NIE $m\cdot a_{max}$. Musisz uwzględnić, że $F_g$ działa stale w dół, a wypadkowa $F_s-F_g=m\cdot a$. Stąd $F_s=m(g+a_{max})$. Pułapka — założenie że $a_{max}=g$ to przypadek. Dla tej sprężyny $a_{max}={\omega }^{2}A$. Tutaj akurat dało dokładnie $g$, ale to wybór danych — nie reguła fizyczna.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
4. Matura CKE · maj 2024 · zad. 4 6 pkt efekt Dopplera, akustyka, fala dźwiękowa, prędkość źródła

   Zadanie 4.

   Ambulans jadący ze stałą prędkością mija nieruchomego obserwatora. Przed ambulansem stoi obserwator A, za ambulansem obserwator B. Sygnał syreny ma stałą częstotliwość. Prędkość dźwięku w powietrzu wynosi $v_d=340m/s$. Oznaczamy: ${\lambda }_A$ — długość fali dźwiękowej rejestrowana przez obserwatora A (przed ambulansem), ${\lambda }_B$ — przez obserwatora B (za ambulansem). Stosunek $\frac{{\lambda }_B}{{\lambda }_A}=1,2$.

   Zadanie 4.1. (0–2)

   Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

   		P / F
   1.	Częstotliwość dźwięku rejestrowana przez obserwatora A jest większa od częstotliwości dźwięku rejestrowanej przez obserwatora B.	P / F
   2.	Długość fali dźwięku za ambulansem jest większa niż przed ambulansem.	P / F

   Zadanie 4.2. (0–4)

   Oblicz wartość prędkości $v$ ambulansu względem ziemi. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   4.1.

   1. Przed ambulansem (obs. A): źródło zbliża się → $f_A>f_0$. Za ambulansem (obs. B): źródło oddala się → $f_B<f_0$. Stąd $f_A>f_B$ → P.

   2. $f=v_d/\lambda$, więc większa częstotliwość ↔ krótsza długość fali. ${\lambda }_A<{\lambda }_B$ → "fala za jest większa" → P.

   4.2. Efekt Dopplera dla ruchomego źródła i nieruchomego obserwatora:

   Przed źródłem (do A): ${\lambda }_A=\frac{v_d-v}{f_0}$

   Za źródłem (od B): ${\lambda }_B=\frac{v_d+v}{f_0}$

   Iloraz:
   $$\frac{{\lambda }_B}{{\lambda }_A}=\frac{v_d+v}{v_d-v}=1,2$$

   Rozwiązujemy:
   $$v_d+v=1,2(v_d-v)$$
   $$v_d+v=1,2v_d-1,2v$$
   $$2,2v=0,2v_d$$
   $$v=\frac{0,2}{2,2}{v}_d=\frac{1}{11}\cdot 340\approx 30,9m/s$$

   $$\boxed{v\approx 30,9m/s\approx 111km/h}$$

   ⚠ Typowa pułapka: Pułapka 4.1 — pomylenie kierunków. Pamiętaj: źródło **zbliżające się** → fale **ZAGĘSZCZONE** ($\lambda$ KRÓTSZA, $f$ WYŻSZA). Źródło **oddalające się** → fale **ROZRZEDZONE** ($\lambda$ DŁUŻSZA, $f$ NIŻSZA). Pułapka 4.2 — użycie wzoru dla ruchomego obserwatora: $f^{\prime }=f_0\cdot \frac{v_d\pm v_o}{v_d}$. NIE: tutaj rusza się ŹRÓDŁO. Dla ruchomego źródła wzór ma $v$ w **mianowniku**: $f^{\prime }=f_0\cdot \frac{v_d}{v_d\mp v_s}$. Skutek dla $\lambda$: $\lambda =\frac{v_d\mp v_s}{f_0}$ (minus przed, plus za). Pułapka — pominięcie iloczynu z $v_d$. Często się oblicza ${\lambda }_B-{\lambda }_A=2v/f_0$ — ale tu nie znamy $f_0$. Trzeba zostawić w postaci ilorazu, gdzie $f_0$ i $v_d$ się znoszą.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
5. Matura CKE · maj 2023 · zad. 4 5 pkt efekt Dopplera, fale elektromagnetyczne, prędkość światła, sonda kosmiczna, częstotliwość, długość fali

   Sonda kosmiczna oddala się od Ziemi z prędkością $\vec{v}$ wzdłuż prostej przechodzącej przez środek Ziemi. Ta sonda emituje w stronę Ziemi falę elektromagnetyczną o częstotliwości dokładnie $f_{\mathcal{Z}r}=3\text{GHz}$ (podana częstotliwość jest określona w układzie odniesienia związanym z sondą, czyli jest częstotliwością źródła fali). Sytuację ilustruje rysunek poglądowy poniżej (odległości na rysunku są umowne).

   Odbierana na Ziemi fala ma częstotliwość $f_{\mathcal{Z}}$ różniącą się od częstotliwości źródła fali o $|\Delta f|=750\text{kHz}$. Wartość prędkości światła w próżni oznaczamy jako $c$. Przyjmij, że $v\ll c$ oraz $c=3\cdot 10^8\text{m/s}$.

   Zadanie 4.1. (0–1)

   Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C i jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

   Fala elektromagnetyczna wysyłana przez sondę porusza się względem Ziemi z prędkością równą

   A. $c-v$ B. $c$, ponieważ C. $c+v$

   1. prędkość fali elektromagnetycznej jest niezależna od ruchu źródła tej fali. 2. źródło oddalające się od Ziemi unosi ze sobą falę elektromagnetyczną i zmniejsza jej prędkość. 3. prędkość fali elektromagnetycznej jest zawsze powiększona o prędkość źródła tej fali.

   Zadanie 4.2. (0–1)

   Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

   Zarejestrowana na Ziemi częstotliwość $f_{\mathcal{Z}}$ fali elektromagnetycznej wyemitowanej przez sondę jest równa

   A. $3,75000\text{GHz}$B. $2,25000\text{GHz}$C. $3,00075\text{GHz}$D. $2,99925\text{GHz}$

   Zadanie 4.3. (0–1)

   Zarejestrowaną na Ziemi długość fali elektromagnetycznej wyemitowanej przez sondę oznaczamy jako ${\lambda }_{\mathcal{Z}}$, a długość tej fali elektromagnetycznej w układzie odniesienia związanego z sondą oznaczamy jako ${\lambda }_{\mathcal{Z}r}$.

   Oceń prawdziwość poniższych relacji. Zaznacz P, jeśli relacja jest prawdziwa, albo F – jeśli jest fałszywa.

   Nr	Relacja	P/F
   1.	${\lambda }_{\mathcal{Z}r}\approx 0,10\text{m}$	P / F
   2.	${\lambda }_{\mathcal{Z}}>{\lambda }_{\mathcal{Z}r}$	P / F

   Zadanie 4.4. (0–2)

   Oblicz $v$ – wartość prędkości sondy względem Ziemi. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   Zadanie 4.1.

   Odpowiedź: B – 1.

   Prędkość fali elektromagnetycznej w próżni jest zawsze równa $c$ niezależnie od ruchu źródła (II postulat szczególnej teorii względności).

   Zadanie 4.2.

   Źródło oddala się od obserwatora → częstotliwość rejestrowana mniejsza od częstotliwości źródła (red shift). Przesunięcie $|\Delta f|=750\text{kHz}=0,00075\text{GHz}$.

   $$f_{\mathcal{Z}}=f_{\mathcal{Z}r}-|\Delta f|=3,00000-0,00075=2,99925\text{GHz}$$

   Odpowiedź: D.

   Zadanie 4.3.

   1. ${\lambda }_{\mathcal{Z}r}=c/f_{\mathcal{Z}r}=3\cdot 10^8/(3\cdot 10^9)=0,10\text{m}$. P
   2. Ponieważ $f_{\mathcal{Z}}<f_{\mathcal{Z}r}$ oraz $\lambda =c/f$, to ${\lambda }_{\mathcal{Z}}>{\lambda }_{\mathcal{Z}r}$. P

   Zadanie 4.4.

   Dla $v\ll c$ klasyczny wzór dopplerowski dla EM (oddalanie):

   $$\frac{|\Delta f|}{f_{\mathcal{Z}r}}=\frac{v}{c}$$

   $$v=c\cdot \frac{|\Delta f|}{f_{\mathcal{Z}r}}=3\cdot 10^8\cdot \frac{750\cdot 10^3}{3\cdot 10^9}$$

   $$v=3\cdot 10^8\cdot 2,5\cdot 10^{-4}=7,5\cdot 10^4\text{m/s}=75\text{km/s}$$

   Odpowiedź: $v=75\text{km/s}$.

   ⚠ Typowa pułapka: - Prędkość światła jest niezmiennikiem — NIE dodawaj $\pm v$. To klasyczny błąd "newtonowskiego" myślenia. - Oddalanie → red shift → $f_{\mathcal{Z}}<f_{\mathcal{Z}r}$, ${\lambda }_{\mathcal{Z}}>{\lambda }_{\mathcal{Z}r}$. - Wzór dopplerowski klasyczny dla EM przy $v\ll c$: $\Delta f/f=v/c$. - Jednostki: $|\Delta f|=750\text{kHz}=7,5\cdot 10^5\text{Hz}$, $f_{\mathcal{Z}r}=3\cdot 10^9\text{Hz}$. Stosunek $=2,5\cdot 10^{-4}$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →