Bryła sztywna: ruch obrotowy, moment bezwładności

4 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z fizyki (2023–2025). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

1. Matura CKE · maj 2025 · zad. 2 6 pkt dynamika bryły sztywnej, ruch po równi pochyłej, moment bezwładności

   Dwa jednorodne walce W1 i W2 o tych samych promieniach $R_1=R_2=R$ i masach $m_1=m_2=m$ staczają się bez poślizgu po równi pochyłej o kącie nachylenia $\beta$. Momenty bezwładności walców względem osi obrotu wynoszą odpowiednio $I_1=k_{1}m{R}^2$ oraz $I_2=k_{2}m{R}^2$, przy czym $k_2>k_1$.

   Zadanie 2.1. (0–2) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

   Zadanie 2.2. (0–4) Wyznacz wartość przyspieszenia liniowego $a$ środka masy walca W2 staczającego się bez poślizgu po równi pochyłej. Wynik zapisz w zależności od $g$, $\beta$ i $k_2$.

   Pokaż odpowiedź

   2.1. Walec o większym współczynniku $k$ ma większy moment bezwładności, więc wolniej
   przyspiesza i osiąga mniejszą prędkość liniową u dołu równi. Energie kinetyczne walców na dole
   są równe (ZZE: $mgh=E_k$), ale W1 (mniejsze $k$) ma większą prędkość liniową.

   2.2. Z II zasady dynamiki ruchu postępowego i obrotowego:

   $$ma=mg\sin \beta -T,I_2\epsilon =TR$$

   Warunek toczenia bez poślizgu: $a=\epsilon R$, więc $T=k_{2}ma$. Podstawiając:

   $$a=\frac{g\sin \beta }{1+k_2}$$

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstsze błędy: pominięcie momentu bezwładności (traktowanie jako klocek), użycie wzoru $I=\frac{1}{2}m{R}^2$ zamiast ogólnego $km{R}^2$, zła interpretacja warunku toczenia bez poślizgu ($v=\omega R$, $a=\epsilon R$), nieprawidłowy znak siły tarcia.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
2. Matura CKE · maj 2024 · zad. 2 6 pkt dynamika bryły sztywnej, moment bezwładności, ruch obrotowo-postępowy, energia kinetyczna

   Zadanie 2.

   Jednorodny walec o masie $m=10\mathrm{kg}$ i promieniu $R$ był ciągnięty siłą o wartości $F=30\mathrm{N}$ po płaskiej poziomej powierzchni. Siła $\vec{F}$ była przyłożona poziomo do uchwytu i prostopadle do osi obrotu walca (zobacz rysunki 1.–3.).

   Do analizy zagadnienia przyjmij model zjawiska, w którym:

   • walec toczył się bez poślizgu,
   • w kierunku poziomym na walec działały tylko: stała siła tarcia statycznego $\vec{T}$ oraz siła $\vec{F}$,
   • siła tarcia $\vec{T}$ między walcem a powierzchnią nie osiągała wartości maksymalnej,
   • pomijamy inne (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu,
   • moment bezwładności walca względem jego osi obrotu — będącej osią symetrii walca — wyraża się wzorem $I_0=\frac{1}{2}m{R}^2$,
   • ruch walca rozpatrujemy w inercjalnym układzie odniesienia związanym z ziemią, w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym,
   • pomijamy masę osi obrotu walca i masę jego uchwytu.

   Zadanie 2.1. (0–3)

   Całkowitą energię kinetyczną walca w pewnej chwili $t$ ruchu oznaczmy jako $E_{kincalk}$, a energię kinetyczną ruchu postępowego walca w tej samej chwili $t$ oznaczmy $E_{kinpost}$.

   Oblicz iloraz $\frac{E_{kinpost}}{E_{kincalk}}$. Zapisz obliczenia. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.

   Zadanie 2.2. (0–3)

   Oblicz wartość przyśpieszenia (liniowego) środka masy walca. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   2.1. Energia kinetyczna toczącego się bez poślizgu walca:

   $$E_{kincalk}=\underset{E_{kinpost}}{\underbrace{\frac{1}{2}m{v}^2}}+\underset{E_{kinobr}}{\underbrace{\frac{1}{2}{I}_0{\omega }^2}}$$

   Z warunku toczenia bez poślizgu: $v=\omega R\Rightarrow \omega =v/R$.

   $$E_{kinobr}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}m{R}^2\cdot \frac{v^2}{R^2}=\frac{1}{4}m{v}^2$$

   $$E_{kincalk}=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{4}m{v}^2=\frac{3}{4}m{v}^2$$

   $$\boxed{\frac{E_{kinpost}}{E_{kincalk}}=\frac{\frac{1}{2}m{v}^2}{\frac{3}{4}m{v}^2}=\frac{2}{3}}$$

   2.2. Układamy równania:

   • II zasada Newtona (ruch postępowy): $F-T=ma$
   • II zasada Newtona dla obrotu (oś walca): $T\cdot R=I_0\cdot \epsilon =\frac{1}{2}m{R}^2\cdot \frac{a}{R}$ → $T=\frac{1}{2}ma$

   Podstawiamy:

   $$F-\frac{1}{2}ma=ma$$
   $$F=\frac{3}{2}ma$$
   $$a=\frac{2F}{3m}=\frac{2\cdot 30}{3\cdot 10}=2m/{\mathrm{s}}^2$$

   $$\boxed{a=2m/{\mathrm{s}}^2}$$

   ⚠ Typowa pułapka: Pułapka 2.1 — pominięcie energii obrotowej. Walec toczy się — ma DWIE składowe energii kinetycznej. $E_{kinpost}=\frac{1}{2}m{v}^2$ to **nie całość**. Pułapka 2.2 — założenie że $a=F/m=3$ m/s² (bez tarcia). Siła tarcia statycznego, mimo że nie wykonuje pracy (punkt styku chwilowo spoczywa), zmniejsza wypadkową siłę napędową — bo to ona wytwarza moment obrotowy. Pułapka — kierunek siły tarcia. Tarcie statyczne tu działa **przeciwnie do $\vec{F}$** (tj. wstecz), bo to ono zapewnia moment obrotowy potrzebny do toczenia bez poślizgu (gdyby tarcia nie było, walec by się ślizgał, a uchwyt by go ciągnął bez obrotu).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
3. Matura CKE · maj 2023 · zad. 2 2 pkt dynamika, zderzenie sprężyste, zasada zachowania pędu, zasada zachowania energii kinetycznej, krążki jednorodne, siły wzajemnego oddziaływania

   Krążek K1 porusza się w inercjalnym układzie odniesienia $\mathcal{U}$ ze stałą prędkością $\vec{v}$, a krążek K2 spoczywa. Środek krążka K2 leży na prostej wyznaczającej kierunek ruchu krążka K1. W pewnej chwili krążek K1 uderza w krążek K2.

   Na rysunku 1. w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ przedstawiono poruszające się krążek K1 i spoczywający krążek K2. Oznaczono prędkość $\vec{v}$ krążka K1 i składowe ${\vec{v}}_x,{\vec{v}}_y$ tej prędkości. Na rysunku 2. przedstawiono moment zderzenia się obu krążków.

   Krążki są jednorodne, a ich masy są sobie równe. Pomijamy tarcie między krążkami K1 i K2 oraz między krążkami a podłożem.

   Zadanie 2.1. (0–1)

   Na rysunku 2. poprawnie narysuj parę sił wzajemnego oddziaływania pomiędzy krążkami podczas ich zderzenia. Każda z sił przyłożona — odpowiednio — w punkcie środka masy krążka K1 lub krążka K2. Zachowaj odpowiednie kierunki i zwroty tych sił oraz relację (większy, równy, mniejszy) między ich wartościami.

   Zadanie 2.2. (0–1)

   Załóżmy, że zderzenie krążków K1 i K2 było doskonale sprężyste.

   Na którym rysunku (spośród A–D) prawidłowo narysowano i opisano wektory prędkości krążków bezpośrednio po zderzeniu w układzie odniesienia $\mathcal{U}$? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

   A. $|{\vec{v}}_1^{\prime }|=|{\vec{v}}_2^{\prime }|=\frac{|\vec{v}|}{2}$ (krążki rozjeżdżają się symetrycznie)B. ${\vec{v}}_1^{\prime }=0\text{i}{\vec{v}}_2^{\prime }=\vec{v}$ (K1 zatrzymuje się, K2 odjeżdża z prędkością K1)C. ${\vec{v}}_1^{\prime }={\vec{v}}_y,{\vec{v}}_2^{\prime }={\vec{v}}_x$ (K1 odbija się prostopadle, K2 odjeżdża wzdłuż $x$)D. ${\vec{v}}_1^{\prime }=\frac{{\vec{v}}_y}{2},{\vec{v}}_2^{\prime }=\frac{{\vec{v}}_x}{2}$
   Pokaż odpowiedź

   Zadanie 2.1.

   Siły wzajemnego oddziaływania (III zasada dynamiki Newtona): wektory ${\vec{F}}_{12}$ i ${\vec{F}}_{21}$ przyłożone w środkach mas krążków, leżące na prostej łączącej środki krążków, o przeciwnych zwrotach i równych wartościach: $|{\vec{F}}_{12}|=|{\vec{F}}_{21}|$. Siła działająca na K2 (od strony K1) skierowana jest na zewnątrz od K1, a siła na K1 (od strony K2) — przeciwnie.

   Zadanie 2.2.

   Poprawna odpowiedź: C (analog rysunku, na którym K1 odbija się ruchem o składowej ${\vec{v}}_y$, a K2 odjeżdża z prędkością ${\vec{v}}_x$).

   Uzasadnienie: dla zderzenia centralnego, doskonale sprężystego dwóch krążków o równych masach zachowane są pęd i energia kinetyczna. W zderzeniu niecentralnym (oś zderzenia wzdłuż linii środków) tylko składowa prędkości wzdłuż linii środków (składowa ${\vec{v}}_x$ — wzdłuż osi zderzenia) zostaje przekazana K2. Składowa prostopadła ${\vec{v}}_y$ pozostaje przy K1:

   $${\vec{v}}_1^{\prime }={\vec{v}}_y,{\vec{v}}_2^{\prime }={\vec{v}}_x$$

   Sprawdzenie zasad zachowania:

   • pęd: $m\vec{v}=m({\vec{v}}_x+{\vec{v}}_y)=m{\vec{v}}_x+m{\vec{v}}_y$ ✓
   • energia: $\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m(v_x^2+v_y^2)$ ✓

   ⚠ Typowa pułapka: - III zasada Newtona: siły wzajemnego oddziaływania mają **zawsze** tę samą wartość, bez względu na różnicę mas — częsty błąd to rysowanie dłuższego wektora przy "uderzającym". - Zderzenie centralne sprężyste z równymi masami: pełne przekazanie składowej prędkości wzdłuż linii środków. To jest klasyczny wynik bilardowy. - Składowa prostopadła do osi zderzenia nie ulega zmianie — kontakt krążków nie wytwarza siły bocznej (brak tarcia).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
4. Matura CKE · maj 2023 · zad. 3 6 pkt dynamika bryły sztywnej, moment bezwładności walca, ruch obrotowy, zasada zachowania energii, II zasada dynamiki dla obrotu, walec na stole

   Wzdłuż osi jednorodnego walca o masie $m$ i promieniu $R$ przechodzi cienki pręt, wokół którego walec może się obracać. Do tego pręta przymocowano cienką nierozciągliwą linkę, którą przewieszono przez bloczek. Na końcu linki zawieszono ciężarek o masie $m$ (równej masie walca). Początkowo walec był unieruchomiony i spoczywał na stole. W pewnej chwili walec — ciągnięty przez linkę — rozpoczął ruch i toczył się dalej bez poślizgu po poziomej powierzchni stołu. Opisaną sytuację ilustruje rysunek 1. i 2.

   Do analizy zagadnienia przyjmij model zjawiska, w którym:

   • moment bezwładności walca względem jego osi symetrii jest równy $I=\frac{1}{2}m{R}^2$
   • pomijamy masę linki, masę bloczka oraz masę pręta na osi symetrii walca
   • zakładamy, że ruch walca i ciężarka odbywa się w układzie inercjalnym
   • siła tarcia statycznego $T$ między walcem a powierzchnią stołu nie osiągnęła wartości maksymalnej
   • pomijamy tarcie (tzn. oprócz tarcia statycznego) opory ruchu układu.

   Zadanie 3.1. (0–2)

   Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

   Nr	Stwierdzenie	P/F
   1.	Gdy walec toczy się bez poślizgu, to w czasie jednego obrotu przebywa drogę o długości $2\pi R$.	P / F
   2.	Energia kinetyczna ruchu postępowego walca jest większa od energii kinetycznej ruchu obrotowego walca względem jego osi.	P / F
   3.	Energia potencjalna opadającego ciężarka zamienia się w całości na energię kinetyczną ruchu postępowego walca i ruchu obrotowego walca.	P / F

   Zadanie 3.2. (0–4)

   Wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć wartość $a$ przyśpieszenia ciężarka w zależności tylko od wartości $g$ przyśpieszenia ziemskiego. Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj (w ramce na dole strony) postać tego wzoru. Wskazówka: skorzystaj z zasady zachowania energii mechanicznej układu lub z drugiej zasady dynamiki dla ruchu postępowego walca, dla ruchu obrotowego walca i dla ruchu postępowego ciężarka.

   Pokaż odpowiedź

   Zadanie 3.1.

   Nr	Stwierdzenie	P/F
   1.	Walec toczy się bez poślizgu — w czasie jednego obrotu przebywa $2\pi R$	P
   2.	Dla jednorodnego walca: $E_{k,\text{post}}=\frac{1}{2}m{v}^2$, $E_{k,\text{obr}}=\frac{1}{2}I{\omega }^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}m{R}^2\cdot (v/R{)}^2=\frac{1}{4}m{v}^2$, więc $E_{k,\text{post}}>E_{k,\text{obr}}$	P
   3.	Energia potencjalna ciężarka zamienia się także w energię kinetyczną ciężarka i wykonuje pracę przeciw tarciu statycznemu (które nie wykonuje pracy, bo punkt styku nie ślizga), ale ciężarek SAM też ma energię kinetyczną — więc NIE w całości na walec	F

   Zadanie 3.2.

   Linka jest przymocowana do osi walca (do pręta na osi symetrii), zatem siła naciągu linki $N$ działa na walec wzdłuż osi, ale ramię względem osi walca = 0. Tarcie statyczne $T$ działa w punkcie styku z podłożem (ramię $R$).

   Dla walca (ruch postępowy): $N-T=m{a}_w$, gdzie $a_w$ to przyspieszenie środka masy walca.

   Dla walca (ruch obrotowy): $T\cdot R=I\epsilon =\frac{1}{2}m{R}^2\cdot \epsilon$. Toczenie bez poślizgu: $a_w=\epsilon R$, więc $T=\frac{1}{2}m{a}_w$.

   Dla ciężarka: $mg-N=ma$, gdzie $a$ – przyspieszenie ciężarka.

   Więź geometryczna: linka jest nierozciągliwa i nawinięta tak, że prędkość punktu osi walca = prędkość linki = prędkość ciężarka. Zatem $a=a_w$.

   Podstawiając $T=\frac{1}{2}ma$ do równania walca:

   $$N-\frac{1}{2}ma=ma\Rightarrow N=\frac{3}{2}ma$$

   Z równania ciężarka:

   $$mg-\frac{3}{2}ma=ma\Rightarrow mg=\frac{5}{2}ma$$

   $$\boxed{a=\frac{2}{5}g}$$

   ⚠ Typowa pułapka: - Linka mocowana do **osi** walca, nie do jego obwodu — siła naciągu nie tworzy momentu względem osi walca. Moment obrotowy daje TYLKO tarcie statyczne w punkcie styku. - Warunek toczenia bez poślizgu: $v=\omega R$, $a=\epsilon R$. Bez tego nie zlinkujesz ruchu obrotowego z postępowym. - $a_w=a$ tylko dlatego, że linka idzie z osi walca do ciężarka — gdyby była nawinięta na walec (przy obwodzie), $a_w\ne a$. - Często mylone: tarcie statyczne NIE wykonuje pracy (punkt styku ma chwilową prędkość 0) — energia jest zachowana, ale "redystrybuowana" między walec a ciężarek.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →