Fizyka jądrowa: rozpady promieniotwórcze, energia wiązania

3 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z fizyki (2023–2025). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

1. Matura CKE · maj 2025 · zad. 12 8 pkt fizyka jądrowa, rozpad alfa, zasada zachowania pędu, czas połowicznego rozpadu

   Izotop plutonu ${}_{94}^{238}\text{Pu}$ ulega rozpadowi promieniotwórczemu w wyniku przemiany $\alpha$. Podczas rozpadu jądra tego izotopu plutonu powstają cząstka $\alpha$ oraz jądro pewnego pierwiastka, który oznaczymy jako $X$.

   Przyjmij, że w opisanym rozpadzie $\alpha$:

   • iloraz masy jądra pierwiastka X i masy cząstki $\alpha$ wynosi w zaokrągleniu $\frac{m_X}{m_{\alpha }}\approx 58,5$
   • w chwili tuż przed opisanym rozpadem jądro plutonu ${}_{94}^{238}\text{Pu}$ było nieruchome
   • wartości prędkości jądra pierwiastka X i cząstki $\alpha$ — powstałych po rozpadzie jądra plutonu — są dużo mniejsze od wartości prędkości światła w próżni.

   Zadanie 12.1. (0–2) Uzupełnij schemat rozpadu $\alpha$ jądra plutonu ${}_{94}^{238}\text{Pu}$ tak, aby powstało równanie rozpadu. Wpisz w wykropkowane miejsca w schemacie właściwe liczby: atomową i masową, a pod schematem — symbol (lub nazwę) pierwiastka X, którego jądro powstaje w tym rozpadzie.

   Zadanie 12.2. (0–3) Energie kinetyczne jądra pierwiastka X i cząstki $\alpha$, tuż po rozpadzie jądra ${}_{94}^{238}\text{Pu}$, oznaczymy — odpowiednio — jako $E_{kinX}$ i $E_{kin\alpha }$.

   Oblicz iloraz $\frac{E_{kinX}}{E_{kin\alpha }}$. Zapisz obliczenia. Skorzystaj z zasady zachowania pędu.

   Zadanie 12.3. (0–3) Próbka $Z$ zawierająca izotop plutonu ${}_{94}^{238}\text{Pu}$ wytwarza energię w postaci ciepła na skutek rozpadu promieniotwórczego tego izotopu plutonu. Moc cieplną generowaną przez tę próbkę oznaczymy jako $P$.

   Próbka $Z$ — w pewnej chwili $t_0$ — wytwarzała moc cieplną równą $P_0=100\text{ J/s}$. Dokładnie po czasie $t=5$ lat od chwili $t_0$ moc cieplna spadła do wartości $P_t=96,13\text{ J/s}$.

   Przyjmij, że moc cieplna wytwarzana przez próbkę $Z$ jest wprost proporcjonalna do liczby jąder izotopu plutonu ${}_{94}^{238}\text{Pu}$ pozostających w próbce $Z$.

   Oblicz $T$ — czas połowicznego rozpadu izotopu plutonu ${}_{94}^{238}\text{Pu}$. Wynik podaj w latach, zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.

   Pokaż odpowiedź

   12.1. Z zasad zachowania liczby atomowej i masowej:

   • Liczba masowa: $238=A_X+4$ → $A_X=234$
   • Liczba atomowa: $94=Z_X+2$ → $Z_X=92$

   Pierwiastek o $Z=92$ to uran (U). Równanie rozpadu:
   $${}_{94}^{238}\text{Pu}{\to }_{92}^{234}\text{U}{+}_2^4\alpha$$

   12.2. Z zasady zachowania pędu (układ początkowo spoczynkowy): $0=m_X{v}_X+m_{\alpha }{v}_{\alpha }$,
   więc $m_X{v}_X=m_{\alpha }{v}_{\alpha }$ (co do wartości bezwzględnej, kierunki przeciwne).

   Stąd $v_X/v_{\alpha }=m_{\alpha }/m_X$.

   Energia kinetyczna: $E_{kin}=\frac{p^2}{2m}$. Ponieważ wartości pędów są równe ($p_X=p_{\alpha }$):
   $$\frac{E_{kinX}}{E_{kin\alpha }}=\frac{p^2/(2m_X)}{p^2/(2m_{\alpha })}=\frac{m_{\alpha }}{m_X}=\frac{1}{58,5}\approx 0,0171$$

   12.3. Moc cieplna jest proporcjonalna do liczby jąder: $P(t)=P_0\cdot 2^{-t/T}$.

   Podstawiamy: $\frac{P_t}{P_0}=0,9613=2^{-5/T}$, więc:
   $$-\frac{5}{T}={\log }_{2}0,9613=\frac{{\log }_{10}0,9613}{{\log }_{10}2}=\frac{-0,01714}{0,30103}\approx -0,05694$$

   $$T=\frac{5}{0,05694}\approx 87,8\text{ lat}\approx 88\text{ lat}$$

   Wartość zgodna z literaturą: $T_{1/2}{(}^{238}\text{Pu})\approx 87,7$ lat.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstsze błędy: zła pierwiastek X (mylenie uranu z neptunem, torem), pomylenie zasady zachowania pędu z zachowaniem energii (do pędu wektor, do energii skalar; $E_k\ne mv$, tylko $\frac{1}{2}m{v}^2$ albo $p^2/2m$), użycie wzoru $N(t)=N_0{e}^{-\lambda t}$ bez przeliczenia $\lambda =\ln 2/T$, błąd jednostek czasu.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
2. Matura CKE · maj 2024 · zad. 11 6 pkt fizyka jądrowa, rozpad beta plus, czas połowicznego rozpadu, energia wiązania, defekt masy

   Zadanie 11.

   Izotop fluoru ${}_9^{18}\mathrm{F}$ ulega rozpadowi ${\beta }^{+}$. Masy:

   • $m_F=17,99680\mathrm{u}$ (masa atomu ${}^{18}\mathrm{F}$),
   • $m_X=17,99477\mathrm{u}$ (masa atomu produktu rozpadu),
   • $m_{\beta }=0,00055\mathrm{u}$ (masa pozytonu),
   • $m_{\nu }\approx 0$ (masa neutrina pomijalna).

   $1\mathrm{u}\cdot c^2\approx 931,5\mathrm{MeV}$.

   Na wykresie podano zależność $N_F/N_0$ (stosunek liczby jąder fluoru pozostałych do początkowej) od czasu $t$.

   Zadanie 11.1. (0–1)

   Z wykresu odczytaj czas połowicznego rozpadu $T_{1/2}$ izotopu ${}^{18}\mathrm{F}$. Wynik podaj w minutach.

   Zadanie 11.2. (0–2)

   Zapisz schemat reakcji rozpadu ${\beta }^{+}$ izotopu ${}_9^{18}\mathrm{F}$. Podaj liczbę masową $A$, liczbę atomową $Z$ oraz symbol chemiczny jądra-produktu rozpadu (jądra $X$).

   Zadanie 11.3. (0–3)

   Oblicz energię kinetyczną unoszoną sumarycznie przez produkty rozpadu (pozyton i neutrino) wyrażoną w MeV. Załóż, że jądro fluoru przed rozpadem spoczywało, a energia odrzutu jądra-produktu jest pomijalna.

   Pokaż odpowiedź

   11.1. Z wykresu odczytujemy $t$, dla którego $N_F/N_0=0,5$. Dla ${}^{18}\mathrm{F}$: $T_{1/2}\approx 110$ min (≈ 109,77 min wg tablic).

   $$\boxed{T_{1/2}\approx 110\min }$$

   11.2. Rozpad ${\beta }^{+}$: w jądrze proton przekształca się w neutron, emitowany jest pozyton ($e^{+}$, czyli ${\beta }^{+}$) i neutrino elektronowe ${\nu }_e$:

   $$p\to n+e^{+}+{\nu }_e$$

   Skutek dla jądra: $Z$ maleje o 1, $A$ bez zmian.

   $${}_9^{18}\mathrm{F}\to {}_8^{18}\mathrm{O}+e^{+}+{\nu }_e$$

   Stąd: $A=18$, $Z=8$, jądro-produkt = tlen ${}^{18}\mathrm{O}$.

   $$\boxed{{}_9^{18}\mathrm{F}\to {}_8^{18}\mathrm{O}+e^{+}+{\nu }_e}$$

   11.3. Defekt masy (uwaga: pracujemy z masami atomowymi, więc trzeba odjąć od masy fluoru masę produktu plus dodatkowo pozyton, bo masa atomu tlenu zawiera $Z=8$ elektronów, a fluoru $Z=9$ → przy przejściu jeden elektron "ucieka jako pozyton" ALE w bilansie atomowym uwzględnia to się przez dodanie 2$m_e$ do produktów):

   Dla rozpadu ${\beta }^{+}$ z masami atomowymi:
   $$\Delta m=m_F-m_X-2m_e$$

   Gdzie $m_e=0,00055\mathrm{u}$ (masa pozytonu = masa elektronu).

   $$\Delta m=17,99680-17,99477-2\cdot 0,00055=17,99680-17,99477-0,00110$$

   $$\Delta m=0,00203-0,00110=0,00093\mathrm{u}$$

   Energia wydzielona (= energia kinetyczna produktów):
   $$Q=\Delta m\cdot c^2=0,00093\cdot 931,5\mathrm{MeV}\approx 0,866\mathrm{MeV}$$

   $$\boxed{E_{kin}^{produkty}\approx 0,87\mathrm{MeV}\approx 870\mathrm{keV}}$$

   (Jest to maksymalna energia pozytonu w rozpadzie ${}^{18}\mathrm{F}$, znana z tablic jako $E_{max,\beta +}\approx 633\mathrm{keV}$ — różnica wynika z tego, że pozyton dzieli energię z neutrinem; tutaj liczymy SUMĘ obu.)

   ⚠ Typowa pułapka: Pułapka 11.1 — odczyt z wykresu w niewłaściwych jednostkach (np. sekundach zamiast minutach). Sprawdź podpis osi i jednostki. Pułapka 11.2 — pomylenie ${\beta }^{-}$ z ${\beta }^{+}$: - ${\beta }^{-}$: $n\to p+e^{-}+{\bar{\nu }}_e$, $Z$ ROŚNIE o 1 (przykład: ${}^{14}\mathrm{C}\to {}^{14}\mathrm{N}$). - ${\beta }^{+}$: $p\to n+e^{+}+{\nu }_e$, $Z$ MALEJE o 1 (tutaj: $9\to 8$, F → O). Pułapka 11.3 — pominięcie czynnika $2m_e$ w defekcie masy. Przy zapisie z masami **atomowymi**: dla ${\beta }^{+}$ należy odjąć $2m_e$ (jeden elektron "zniknął" z chmury fluoru przy zmianie $Z$, drugi to wyemitowany pozyton). Dla ${\beta }^{-}$: nie odejmujemy nic (masa elektronu wyemitowanego = masa elektronu, który "doszedł" do chmury produktu). Pułapka 11.3 — założenie, że cała energia idzie w pozyton. NIE: dzieli się między pozytonem a neutrinem (stąd CIĄGŁE widmo energii beta, w przeciwieństwie do alfa, który ma widmo dyskretne). Tu pytanie o **sumę** = znamy z bilansu masy.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
3. Matura CKE · maj 2023 · zad. 11 6 pkt fizyka jądrowa, reakcja jądrowa, kopernik, izotopy nietrwałe, rozpady alfa, deficyt masy, energia wiązania, jednostka masy atomowej

   Pierwiastek o nazwie kopernik, oznaczony symbolem $\text{Cn}$, ma liczbę atomową $Z=112$. Izotop ${}^{277}\text{Cn}$ tego pierwiastka został po raz pierwszy wytworzony w wyniku bombardowania ołowianej tarczy jonami ${}^{70}\text{Zn}$.

   Kopernik ${}^{277}\text{Cn}$ jest izotopem nietrwałym.

   Uwaga: W zadaniach 11.1., 11.2., 11.3. skorzystaj z Wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych na egzamin maturalny z biologii, chemii i fizyki.

   Zadanie 11.1. (0–1)

   Poniżej przedstawiono schemat reakcji jądrowej, w wyniku której powstają jądro izotopu ${}^{277}\text{Cn}$ oraz pewna cząstka.

   $${}_{82}^{208}\text{Pb}{+}_{30}^{70}\text{Zn}{\to }_{112}^{277}\text{Cn}+\dots$$

   Uzupełnij powyższy schemat reakcji jądrowej tak, aby powstało równanie reakcji jądrowej. Wpisz w wykropkowane miejsca właściwe liczby atomowe oraz symbol lub nazwę cząstki, która powstaje w tej reakcji.

   Zadanie 11.2. (0–2)

   W wyniku sześciu kolejnych rozpadów $\alpha$, z których pierwszy jest rozpadem jądra ${}^{277}\text{Cn}$, powstało jądro pewnego pierwiastka.

   Podaj nazwę lub symbol pierwiastka, którego jądro powstało w wyniku tych sześciu rozpadów. Zapisz obliczenia.

   Zadanie 11.3. (0–3)

   Masa jądra izotopu ${}^{277}\text{Cn}$ jest równa $m_{\text{Cn}}=460,138852\cdot 10^{-27}\text{kg}$.

   Oblicz najmniejszą energię, którą należałoby dostarczyć do jądra ${}^{277}\text{Cn}$, aby rozbić je na oddzielne (tzn. nieoddziałujące ze sobą) nukleony. Zapisz obliczenia. Wynik podaj zaokrąglony do trzech cyfr znaczących.

   Pokaż odpowiedź

   Zadanie 11.1.

   Bilans liczb masowych: $208+70=277+A_{\text{X}}$, więc $A_{\text{X}}=278-277=1$.

   Bilans liczb atomowych: $82+30=112+Z_{\text{X}}$, więc $Z_{\text{X}}=0$.

   Cząstka o $A=1$, $Z=0$ to neutron (${}_0^{1}n$).

   $${}_{82}^{208}\text{Pb}{+}_{30}^{70}\text{Zn}{\to }_{112}^{277}\text{Cn}{+}_0^{1}n$$

   Odpowiedź: brakująca cząstka to neutron ${}_0^{1}n$.

   Zadanie 11.2.

   Rozpad $\alpha$: ${}_Z^{A}X{\to }_{Z-2}^{A-4}Y{+}_2^4\text{He}$. Sześć rozpadów $\alpha$ to:

   • $\Delta A=-6\cdot 4=-24$
   • $\Delta Z=-6\cdot 2=-12$

   Powstałe jądro:

   $$A=277-24=253,Z=112-12=100$$

   Pierwiastek o $Z=100$ to ferm (Fm). Powstaje jądro ${}_{100}^{253}\text{Fm}$.

   Odpowiedź: ferm, ${}_{100}^{253}\text{Fm}$.

   Zadanie 11.3.

   Masy nukleonów (z tablic):

   • $m_p=1,6726\cdot 10^{-27}\text{kg}$
   • $m_n=1,6749\cdot 10^{-27}\text{kg}$

   Liczba protonów: $Z=112$, liczba neutronów: $N=277-112=165$.

   Suma mas nukleonów:

   $$m_{\text{nukl}}=112\cdot 1,6726\cdot 10^{-27}+165\cdot 1,6749\cdot 10^{-27}$$

   $$=(187,3312+276,3585)\cdot 10^{-27}=463,6897\cdot 10^{-27}\text{kg}$$

   Deficyt masy (energia wiązania):

   $$\Delta m=m_{\text{nukl}}-m_{\text{Cn}}=463,6897\cdot 10^{-27}-460,1389\cdot 10^{-27}$$

   $$\Delta m=3,5508\cdot 10^{-27}\text{kg}$$

   Energia wiązania (z $E=\Delta m\cdot c^2$):

   $$E_W=3,5508\cdot 10^{-27}\cdot (3\cdot 10^8{)}^2=3,5508\cdot 10^{-27}\cdot 9\cdot 10^{16}$$

   $$E_W=31,957\cdot 10^{-11}\text{J}=3,20\cdot 10^{-10}\text{J}$$

   Odpowiedź: $E_W\approx 3,20\cdot 10^{-10}\text{J}$ (równoważnie ok. $2,00\cdot 10^3\text{MeV}=2,00\text{GeV}$).

   ⚠ Typowa pułapka: - Bilans w równaniu jądrowym: zachowanie liczb masowych $A$ (suma) i liczb atomowych $Z$ (suma). - Rozpad $\alpha$: emisja jądra helu ${}_2^4\text{He}$, $\Delta A=-4$, $\Delta Z=-2$. - Energia wiązania ZAWSZE pozytywna — to energia do **rozbicia** jądra. Deficyt masy: nukleony związane mają mniejszą masę niż swobodne. - Wzór: $E=\Delta m{c}^2$, gdzie $\Delta m=Z{m}_p+N{m}_n-m_{\text{jądra}}$. - 1 eV = $1,602\cdot 10^{-19}\text{J}$. 1 u = $1,6605\cdot 10^{-27}\text{kg}$ ≈ 931,5 MeV/$c^2$. - Bez energii wiązania elektronów (zazwyczaj zaniedbywalna) — używamy mas jąder, nie atomów.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →