Fizyka atomowa: model Bohra, fotony i poziomy energetyczne

1 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z fizyki (2025). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

Matura CKE · maj 2025 · zad. 11 4 pkt fizyka atomowa, model Bohra atomu wodoru, poziomy energetyczne, fotony
Atom wodoru emituje fotony przy przejściach elektronu pomiędzy poziomami energetycznymi. Energie poziomów dane są wzorem: $E_{n} = - \frac{13 , 6 eV}{n ^{2}}$ gdzie $n = 1, 2, 3, \dots$ to główna liczba kwantowa.

Zadanie 11.1. (0–1) Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3. (Porównanie długości fali $λ_{53}$ z $λ_{43}$ oraz energii fotonu $E_{53}$ z $E_{43}$ przy przejściach $5 \to 3$ i $4 \to 3$ .)

Zadanie 11.2. (0–3) Energię fotonu emitowanego podczas przejścia $4 \to 2$ w atomie wodoru oznaczymy jako $E_{42}$ .

Przyjmij model zjawiska, w którym:
- przed emisją fotonu atom wodoru spoczywał
- pomijamy energię kinetyczną atomu wodoru uzyskaną podczas odrzutu przy emisji fotonu (ta energia jest o kilka rzędów wielkości mniejsza od energii emitowanego fotonu).
Oblicz $E_{42}$ . Zapisz obliczenia. Wynik podaj w eV.
Pokaż odpowiedź
11.1. Energia fotonu emitowanego przy przejściu $n_{2} \to n_{1}$ :
$E_{ij} = ∣ E_{n_{1}} - E_{n_{2}} ∣ = 13, 6 \cdot (\frac{1}{n _{1}^{2}} - \frac{1}{n _{2}^{2}}) eV$
- $E_{53} = 13, 6 \cdot (1/9 - 1/25) \approx 0, 967 eV$
- $E_{43} = 13, 6 \cdot (1/9 - 1/16) \approx 0, 661 eV$
Wnioskujemy: $E_{53} > E_{43}$ , a ponieważ $λ = h c / E$ , to $λ_{53} < λ_{43}$
(krótsza fala = większa energia fotonu).

11.2. Obliczamy energie poziomów:
- $E_{4} = - 13, 6/16 = - 0, 85 eV$
- $E_{2} = - 13, 6/4 = - 3, 4 eV$
Energia fotonu:
$E_{42} = E_{4} - E_{2} = - 0, 85 - (- 3, 4) = 2, 55 eV$

Można też zapisać: $E_{42} = 13, 6 \cdot (1/4 - 1/16) = 13, 6 \cdot 3/16 = 2, 55 eV$ .
⚠ Typowa pułapka: Najczęstsze błędy: pomylenie znaku (energie poziomów są ujemne, fotonu — dodatnia), użycie $1/ n$ zamiast $1/ n^{2}$ , zła kolejność liczb kwantowych (zawsze odejmujemy od poziomu niższego — większy $1/ n^{2}$ — poziom wyższy), pomylenie $λ$ z $f$ (krótsza fala = większa częstotliwość = większa energia).
Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →

Zadania treningowe — ułożone w stylu matury rozszerzonej (nie pochodzą z arkuszy CKE). Świetne do dodatkowych ćwiczeń, gdy przerobisz już oryginalne zadania.

Zadanie treningowe 4 pkt przejście elektronu w atomie wodoru (linia Balmera)

Energie poziomów elektronu w atomie wodoru dane są wzorem $E_{n} = - \frac{13 , 6}{n ^{2}} e V$ . Elektron przechodzi z poziomu $n = 3$ na poziom $n = 2$ .

Oblicz energię emitowanego fotonu (w eV i w dżulach) oraz długość jego fali. Przyjmij $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J \cdot s$ , $c = 3 \cdot 1 0^{8} \frac{m}{s}$ , $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ .

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź:

$Δ E \approx 1, 89 e V \approx 3, 02 \cdot 1 0^{- 19} J$ ; $λ \approx 658 nm$ (światło czerwone).

Rozwiązanie:

Energie poziomów: $E_{3} = - \frac{13 , 6}{9} \approx - 1, 51 e V, E_{2} = - \frac{13 , 6}{4} = - 3, 40 e V .$

Energia fotonu równa jest różnicy energii poziomów: $Δ E = E_{3} - E_{2} = - 1, 51 - (- 3, 40) = 1, 89 e V .$

W dżulach: $Δ E = 1, 89 \cdot 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} \approx 3, 02 \cdot 1 0^{- 19} J .$

Długość fali z zależności $Δ E = \frac{h c}{λ}$ : $λ = \frac{h c}{Δ E} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{3 , 02 \cdot 1 0 ^{- 19}} \approx 6, 58 \cdot 1 0^{- 7} m = 658 nm .$

Jest to czerwona linia $H_{α}$ serii Balmera.

⚠ Typowa pułapka: Foton jest EMITOWANY przy przejściu na niższy poziom, więc jego energia jest dodatnia i równa $E_{wy \overset{z}{˙}} - E_{ni \overset{z}{˙}}$ . Znaki energii poziomów są ujemne — łatwo pomylić się w odejmowaniu.
Zadanie treningowe 3 pkt efekt fotoelektryczny (praca wyjścia)

Powierzchnię metalu o pracy wyjścia $W = 2, 3 e V$ oświetlono światłem o długości fali $λ = 400 nm$ . Przyjmij $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J \cdot s$ , $c = 3 \cdot 1 0^{8} \frac{m}{s}$ , $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ .

Oblicz maksymalną energię kinetyczną wybijanych fotoelektronów (w eV i w dżulach).

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź:

$E_{k, m a x} \approx 0, 81 e V \approx 1, 3 \cdot 1 0^{- 19} J$ .

Rozwiązanie:

Energia padającego fotonu: $E_{f} = \frac{h c}{λ} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{400 \cdot 1 0 ^{- 9}} \approx 4, 97 \cdot 1 0^{- 19} J .$

W elektronowoltach: $E_{f} = \frac{4 , 97 \cdot 1 0 ^{- 19}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}} \approx 3, 11 e V .$

Z równania fotoelektrycznego Einsteina $E_{f} = W + E_{k, m a x}$ : $E_{k, m a x} = E_{f} - W = 3, 11 - 2, 3 = 0, 81 e V .$

W dżulach: $E_{k, m a x} = 0, 81 \cdot 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} \approx 1, 3 \cdot 1 0^{- 19} J .$

⚠ Typowa pułapka: Energia kinetyczna to $E_{f} - W$ , a nie sama energia fotonu. Jeśli $E_{f} < W$ , efekt fotoelektryczny w ogóle nie zachodzi (żadne elektrony nie są wybijane).
Zadanie treningowe 3 pkt strumień fotonów lasera

Laser He-Ne o mocy $P = 2 mW$ emituje światło o długości fali $λ = 633 nm$ . Przyjmij $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J \cdot s$ , $c = 3 \cdot 1 0^{8} \frac{m}{s}$ .

Ile fotonów emituje ten laser w ciągu jednej sekundy?

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź:

Około $6, 4 \cdot 1 0^{15}$ fotonów na sekundę.

Rozwiązanie:

Energia pojedynczego fotonu: $E_{f} = \frac{h c}{λ} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{633 \cdot 1 0 ^{- 9}} \approx 3, 14 \cdot 1 0^{- 19} J .$

Moc to energia emitowana w jednostce czasu, więc liczba fotonów na sekundę: $\frac{N}{t} = \frac{P}{E _{f}} = \frac{2 \cdot 1 0 ^{- 3} W}{3 , 14 \cdot 1 0 ^{- 19} J} \approx 6, 4 \cdot 1 0^{15} \frac{1}{s} .$

⚠ Typowa pułapka: Moc trzeba wyrazić w watach: $2 mW = 2 \cdot 1 0^{- 3} W$ . Pominięcie przedrostka mili zawyży wynik o trzy rzędy wielkości.
Zadanie treningowe 3 pkt energia jonizacji atomu wodoru

Atom wodoru znajduje się w stanie podstawowym, dla którego energia elektronu wynosi $E_{1} = - 13, 6 e V$ .

Oblicz energię potrzebną do jonizacji atomu (w dżulach) oraz długość fali fotonu o tej energii (granica serii Lymana). Przyjmij $h = 6, 63 \cdot 1 0^{- 34} J \cdot s$ , $c = 3 \cdot 1 0^{8} \frac{m}{s}$ , $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ .

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź:

$E_{j o n} = 13, 6 e V \approx 2, 18 \cdot 1 0^{- 18} J$ ; $λ \approx 91, 4 nm$ .

Rozwiązanie:

Jonizacja to przeniesienie elektronu z poziomu $n = 1$ do stanu swobodnego ( $E_{\infty} = 0$ ), więc energia jonizacji to: $E_{j o n} = E_{\infty} - E_{1} = 0 - (- 13, 6 e V) = 13, 6 e V .$

W dżulach: $E_{j o n} = 13, 6 \cdot 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} \approx 2, 18 \cdot 1 0^{- 18} J .$

Długość fali fotonu o tej energii: $λ = \frac{h c}{E _{j o n}} = \frac{6 , 63 \cdot 1 0 ^{- 34} \cdot 3 \cdot 1 0 ^{8}}{2 , 18 \cdot 1 0 ^{- 18}} \approx 9, 14 \cdot 1 0^{- 8} m = 91, 4 nm .$

Foton leży w zakresie nadfioletu — to granica serii Lymana.

⚠ Typowa pułapka: Energia jonizacji jest dodatnia i równa co do wartości bezwzględnej energii poziomu podstawowego. Nie zapomnij przeliczyć eV na dżule przed obliczeniem $λ$ .

Fizyka atomowa: model Bohra, fotony i poziomy energetyczne

Inne działy — fizyka rozszerzona