Kinematyka: ruchy jednostajne i zmienne, rzuty

4 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z fizyki (2023–2025). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

1. Matura CKE · maj 2025 · zad. 1 5 pkt kinematyka, rzuty, ruch jednostajnie zmienny

   W komorze próżniowej z kulki pionowo do góry wyrzucono kulkę K z prędkością początkową $v_0$. Kulka K po pewnym czasie wróciła w to samo miejsce. Przyjmij wartość przyspieszenia ziemskiego $g=9,81{\text{ m/s}}^2$.

   Zadanie 1.1. (0–2) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

   Zadanie 1.2. (0–3) W chwili początkowej kulka K znajdowała się w punkcie A o współrzędnych $(0;12)$ m i poruszała się z prędkością początkową $v_{0A}=8\text{ m/s}$ skierowaną pionowo do góry. Po pewnym czasie kulka znalazła się w punkcie B o współrzędnych $(6;0)$ m, w którym prędkość była skierowana pod kątem do poziomu.

   Wyznacz wartość prędkości początkowej $v_{0B}$ w punkcie B, jeżeli rzut w punkcie B miał taki sam kształt toru jak rzut w punkcie A.

   Pokaż odpowiedź

   1.1. Stosujemy: $h_{max}=\frac{v_0^2}{2g}$, czas wznoszenia $t_w=\frac{v_0}{g}$,
   energia kinetyczna na danej wysokości $E_k=\frac{1}{2}m{v}_0^2-mgh$.

   1.2. Z ruchu pionowego w punkcie A: czas spadania z $h=12$ m z prędkością początkową
   $v_{0A}=8$ m/s w górę: rozwiązanie równania $-12=8t-\frac{1}{2}\cdot 9,81\cdot t^2$
   daje $t\approx 2,43$ s. Składowa pozioma toru musi pokonać $\Delta x=6$ m, więc
   $v_x=6/t\approx 2,47$ m/s. Wartość prędkości w punkcie B: $v_B=\sqrt{v_x^2+v_{yB}^2}$
   gdzie $v_{yB}=v_{0A}-gt$. Po podstawieniu $v_B\approx 16,0$ m/s.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstsze błędy: pomylenie zwrotu prędkości w punkcie B, nieuwzględnienie składowej poziomej, użycie wzoru na rzut poziomy zamiast ukośnego, błąd znaku w równaniu drogi $h(t)=v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
2. Matura CKE · maj 2024 · zad. 1 8 pkt dynamika, opory ruchu, prędkość graniczna, II zasada Newtona, ruch jednostajny

   Zadanie 1.

   Kropla wody spadała pionowo w powietrzu. Na wykresie przedstawiono zależność wartości prędkości kropli $v$ od czasu $t$ ruchu. Na wykresie zaznaczono punkty A, B, C, D, E, F odpowiadające wybranym chwilom ruchu kropli.

   Przyjmij, że siła oporu powietrza działająca na kroplę jest proporcjonalna do kwadratu jej prędkości: $$F_o=k\cdot {\rho }_p\cdot S\cdot v^2$$ gdzie ${\rho }_p$ — gęstość powietrza, $S$ — pole przekroju kropli (koło o promieniu $R$), $k$ — stała bezwymiarowa. Gęstość wody ${\rho }_w$. Objętość kropli $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

   Zadanie 1.1. (0–1)

   Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Od chwili $t_A$ do chwili $t_D$ wartość przyśpieszenia kropli:

   A. rosła B. malała C. była stała

   Uzasadnij wybór, wybierając poprawne dokończenie zdania spośród 1–3. Wartość siły wypadkowej działającej na kroplę w tym przedziale czasu:

   1. rosła, ponieważ rosła siła oporu powietrza.

   2. malała, ponieważ wraz ze wzrostem prędkości rosła siła oporu powietrza, przeciwnie skierowana do siły ciężkości.

   3. była stała, ponieważ stała była siła ciężkości działająca na kroplę.

   Zadanie 1.2. (0–3)

   Narysuj na schematach (osobno dla chwili $t_E$ i $t_B$) wektory siły oporu powietrza ${\vec{F}}_{oE}$ i ${\vec{F}}_{oB}$ działającej na kroplę. Zachowaj proporcję długości wektorów. Wykorzystaj fakt, że $F_o\propto v^2$, oraz odczytane z wykresu wartości $v_E=v_{gr}$ (prędkość graniczna) i $v_B$.

   Zadanie 1.3. (0–4)

   Wyprowadź wzór na wartość prędkości granicznej $v_E$ spadania kropli wyrażoną przez: $R$ (promień kropli), ${\rho }_p$ (gęstość powietrza), ${\rho }_w$ (gęstość wody), $g$ (przyśpieszenie ziemskie) i $k$ (stała). Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   1.1. Odpowiedź: B – 2.

   Od $t_A$ do $t_D$ prędkość rosła, więc rosła siła oporu $F_o\propto v^2$ (przeciwnie skierowana do ${\vec{F}}_g$). Siła wypadkowa $F_w=F_g-F_o$ malała → przyśpieszenie malało.

   1.2. Z wykresu: $v_E=v_{gr}$ (prędkość graniczna, od ok. $t_D$ ruch jest jednostajny), $v_B\approx \frac{1}{3}{v}_E$ (przykładowo, zależnie od odczytu).

   Stosunek długości wektorów: $\frac{F_{oE}}{F_{oB}}={\left(\frac{v_E}{v_B}\right)}^2\approx 9$.

   W chwili $t_E$: kropla porusza się z prędkością graniczną, więc ${\vec{F}}_{oE}$ jest skierowana pionowo w górę i równa co do wartości sile ciężkości ${\vec{F}}_g$. W chwili $t_B$: ${\vec{F}}_{oB}$ też w górę, ale ok. 9× krótsza.

   1.3. Warunek prędkości granicznej: ${\vec{F}}_w=0\Rightarrow F_g=F_o$.

   $$m\cdot g=k\cdot {\rho }_p\cdot S\cdot v_E^2$$

   $${\rho }_w\cdot V\cdot g=k\cdot {\rho }_p\cdot \pi R^2\cdot v_E^2$$

   $${\rho }_w\cdot \frac{4}{3}\pi R^3\cdot g=k\cdot {\rho }_p\cdot \pi R^2\cdot v_E^2$$

   $$v_E^2=\frac{4R{\rho }_{w}g}{3k{\rho }_p}$$

   $$\boxed{v_E=\sqrt{\frac{4R{\rho }_{w}g}{3k{\rho }_p}}=2\sqrt{\frac{R{\rho }_{w}g}{3k{\rho }_p}}}$$

   ⚠ Typowa pułapka: Pułapka 1.1 — wybór "C – 3" ("stała siła ciężkości"). NIE: pytanie dotyczy **siły wypadkowej**, nie samej $F_g$. $F_w=F_g-F_o$, a $F_o$ rośnie, więc $F_w$ maleje. Pułapka 1.2 — narysowanie ${\vec{F}}_{oE}$ i ${\vec{F}}_{oB}$ o tej samej długości. NIE: $F_o\propto v^2$, więc stosunek długości = stosunek kwadratów prędkości (∼9 ×). Pułapka 1.3 — pominięcie pola przekroju $S=\pi R^2$ (koło, nie kula). Druga: zapomnienie że masa kropli $m={\rho }_{w}V$, NIE ${\rho }_{p}V$ (gęstość WODY, nie powietrza).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
3. Matura CKE · maj 2024 · zad. 10 4 pkt kinematyka relatywistyczna, energia całkowita, energia spoczynkowa, czynnik Lorentza

   Zadanie 10.

   W akceleratorze elektron został rozpędzony do prędkości $v_B=2\cdot 10^{8}m/s$. Energia spoczynkowa elektronu wynosi $E_0\approx 5,11\cdot 10^5\mathrm{eV}$ (czyli $m_e{c}^2\approx 0,511$ MeV). Prędkość światła $c=3\cdot 10^{8}m/s$. Ładunek elementarny $e=1,6\cdot 10^{-19}\mathrm{C}$.

   Zadanie 10.1. (0–1)

   Oblicz iloraz energii całkowitej elektronu $E_B$ do jego energii spoczynkowej $E_0$. Wynik podaj zaokrąglony do drugiego miejsca po przecinku.

   Zadanie 10.2. (0–3)

   Aby rozpędzić elektron ze stanu spoczynku (punkt $A$) do prędkości $v_B$, między punktami $A$ i $B$ zastosowano różnicę potencjałów $U_{AB}$. Oblicz wartość tej różnicy potencjałów $U_{AB}$. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   10.1. Czynnik Lorentza:

   $$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-(2/3{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-4/9}}=\frac{1}{\sqrt{5/9}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$$

   $$\gamma \approx \frac{3\cdot 2,236}{5}\approx 1,342$$

   Energia całkowita $E=\gamma m{c}^2=\gamma E_0$, więc:

   $$\frac{E_B}{E_0}=\gamma \approx 1,34$$

   $$\boxed{\frac{E_B}{E_0}\approx 1,34}$$

   10.2. Praca pola elektrycznego = energia kinetyczna elektronu po przyśpieszeniu:

   $$e\cdot U_{AB}=E_{kin}=E_B-E_0=(\gamma -1)E_0$$

   $$U_{AB}=\frac{(\gamma -1)E_0}{e}$$

   W elektronowoltach (od razu): $U_{AB}[\mathrm{V}]=(\gamma -1)\cdot E_0[\mathrm{eV}]$

   $$U_{AB}=(1,342-1)\cdot 5,11\cdot 10^5=0,342\cdot 5,11\cdot 10^5\approx 1,748\cdot 10^5\mathrm{V}$$

   $$\boxed{U_{AB}\approx 1,75\cdot 10^5\mathrm{V}=175\mathrm{kV}}$$

   Sprawdzenie nierelatywistyczne: gdybyśmy użyli $E_{kin}=\frac{1}{2}m{v}^2$, dostalibyśmy:
   $$U=\frac{m{v}^2}{2e}=\frac{9,11\cdot 10^{-31}\cdot (2\cdot 10^8{)}^2}{2\cdot 1,6\cdot 10^{-19}}\approx 1,14\cdot 10^5\mathrm{V}=114\mathrm{kV}$$

   Czyli błąd ~35%. To pokazuje, że dla $v=2/3\cdot c$ ABSOLUTNIE TRZEBA użyć wzorów relatywistycznych.

   ⚠ Typowa pułapka: Pułapka 10.1 — użycie wzoru nierelatywistycznego. Dla $v=2\cdot 10^8$ m/s $=0,667c$ błąd jest już duży — efekty relatywistyczne są istotne (czynnik Lorentza $\gamma \ne 1$). Pułapka 10.1 — pomylenie $E_B$ i $E_{kin}$. **Energia całkowita** $E=\gamma m{c}^2$ (suma spoczynkowej i kinetycznej). **Energia kinetyczna** $E_{kin}=(\gamma -1)m{c}^2$. Iloraz $E_B/E_0=\gamma$, NIE $\gamma -1$. Pułapka 10.2 — użycie $e\cdot U=\frac{1}{2}m{v}^2$ (klasyczny wzór). To poprawne TYLKO dla $v\ll c$. Dla relatywistycznych: $eU=(\gamma -1)m{c}^2$. Pułapka — pomyłka jednostek. $E_0=0,511$ MeV $=5,11\cdot 10^5$ eV. Skoro $eU=E_{kin}$, a $E_{kin}$ wyrażone w eV daje od razu $U$ w V (definicja eV: 1 eV = energia uzyskana przez elektron pokonujący napięcie 1 V).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
4. Matura CKE · maj 2023 · zad. 1 4 pkt kinematyka, ruch jednostajnie przyspieszony, ruch jednostajny, pościg, względna prędkość, maksymalna odległość

   Samochód policyjny $\mathcal{P}$ jechał ze stałą prędkością o wartości $v_{0\mathcal{P}}=20\text{m/s}$. W pewnej chwili został on wyprzedzony przez samochód osobowy $\mathcal{F}$, jadący w tym samym kierunku ze stałą prędkością o wartości $v_{\mathcal{F}}=35\text{m/s}$ (zobacz rysunek 1.).

   W chwili $t_0=0$, gdy odległość między samochodami $\mathcal{P}$ i $\mathcal{F}$ zwiększyła się do $d_0=40\text{m}$, samochód policyjny rozpoczął pościg ze stałym przyśpieszeniem o wartości $a=6{\text{m/s}}^2$ (zobacz rysunek 2.).

   Odległość $d$ między samochodami $\mathcal{P}$ i $\mathcal{F}$ jeszcze przez pewien czas rosła, w pewnej chwili osiągnęła wartość maksymalną $d_{\max }$, a następnie zaczęła maleć.

   Przyjmij, że:

   • od chwili $t_0=0$ samochód policyjny $\mathcal{P}$ poruszał się ruchem jednostajnie przyśpieszonym prostoliniowym
   • samochód $\mathcal{F}$ cały czas poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym
   • odległość pomiędzy samochodami traktujemy jako odległość pomiędzy ustalonymi punktami na przednich zderzakach.

   Oblicz $d_{\max }$ – maksymalną odległość pomiędzy samochodami $\mathcal{P}$ i $\mathcal{F}$ podczas pościgu. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   Odległość $d(t)$ między samochodami jest maksymalna, gdy prędkości obu pojazdów są równe (wówczas pochodna odległości względem czasu zmienia znak):

   $$v_{\mathcal{P}}(t_1)=v_{\mathcal{F}}$$

   Z równania ruchu jednostajnie przyspieszonego dla policji:

   $$v_{0\mathcal{P}}+a\cdot t_1=v_{\mathcal{F}}$$

   $$t_1=\frac{v_{\mathcal{F}}-v_{0\mathcal{P}}}{a}=\frac{35-20}{6}=2,5\text{s}$$

   Drogi przebyte przez oba samochody w czasie $t_1$:

   $$s_{\mathcal{P}}=v_{0\mathcal{P}}\cdot t_1+\frac{1}{2}a{t}_1^2=20\cdot 2,5+\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2,5^2=50+18,75=68,75\text{m}$$

   $$s_{\mathcal{F}}=v_{\mathcal{F}}\cdot t_1=35\cdot 2,5=87,5\text{m}$$

   Maksymalna odległość:

   $$d_{\max }=d_0+s_{\mathcal{F}}-s_{\mathcal{P}}=40+87,5-68,75=58,75\text{m}$$

   Odpowiedź: $d_{\max }\approx 58,75\text{m}\approx 58,8\text{m}$.

   ⚠ Typowa pułapka: - Częsty błąd: szukanie chwili, gdy policja dogoni $\mathcal{F}$ ($s_{\mathcal{P}}=d_0+s_{\mathcal{F}}$). To moment, gdy odległość $d=0$, a NIE maksimum. - Maksimum $d(t)$ to chwila zrównania prędkości — pochodna $d^{\prime }(t)=v_{\mathcal{F}}-v_{\mathcal{P}}(t)=0$. - Trzeba pamiętać o $d_0=40\text{m}$ na starcie (pościg rusza już po wyprzedzeniu). - Jednostki: $a$ w ${\text{m/s}}^2$, $v$ w $\text{m/s}$ — daje czas w sekundach.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →