Elektryczność: elektrostatyka, obwody prądu stałego

4 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z fizyki (2023–2024). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

1. Matura CKE · maj 2024 · zad. 6 3 pkt elektrostatyka, pole elektryczne, superpozycja, ładunki punktowe

   Zadanie 6. (0–3)

   W trzech wierzchołkach kwadratu o boku $a$ umieszczono trzy nieruchome ładunki punktowe: $Q_1=-2q$, $Q_2=-q$, $Q_3=-2q$ (gdzie $q>0$). Ładunek $Q_1$ znajduje się w jednym wierzchołku, $Q_2$ w przeciwległym, a $Q_3$ w jednym z dwóch pozostałych wierzchołków (zobacz rysunek). Czwarty wierzchołek jest pusty.

   Na rysunku narysuj wektor natężenia pola elektrycznego ${\vec{E}}_S$ w punkcie $S$ — przecięciu przekątnych kwadratu — pochodzący od wszystkich trzech ładunków. Zapisz wzór wyrażający wartość natężenia pola elektrycznego $E_S$ w punkcie $S$ w zależności od $a$, $q$ oraz stałej elektrycznej $k$.

   Pokaż odpowiedź

   Odległość każdego z wierzchołków od $S$ (przecięcia przekątnych): $r=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

   Natężenie pola od pojedynczego ładunku $|Q|$ w odległości $r$:

   $$E=\frac{k|Q|}{r^2}=\frac{k|Q|}{(a\sqrt{2}/2{)}^2}=\frac{2k|Q|}{a^2}$$

   Kierunek wektorów (od ładunku ujemnego — pole skierowane w stronę ładunku):

   • od $Q_1=-2q$ (przeciwległy do pustego rogu): ${\vec{E}}_1$ wzdłuż przekątnej, w stronę $Q_1$. Wartość: $E_1=\frac{2k\cdot 2q}{a^2}=\frac{4kq}{a^2}$.
   • od $Q_2=-q$ (drugi koniec przekątnej, przeciwległy do pierwszego): ${\vec{E}}_2$ wzdłuż tej samej przekątnej, ale w PRZECIWNĄ stronę. $E_2=\frac{2kq}{a^2}$.
   • od $Q_3=-2q$ (na drugiej przekątnej, przy boku z $Q_1$): ${\vec{E}}_3$ wzdłuż drugiej przekątnej, w stronę $Q_3$. $E_3=\frac{4kq}{a^2}$.

   Składanie wektorów:

   • ${\vec{E}}_1$ i ${\vec{E}}_2$ leżą na jednej przekątnej (przeciwne zwroty): wypadkowa na tej osi = $|E_1-E_2|=\frac{4kq-2kq}{a^2}=\frac{2kq}{a^2}$, w stronę $Q_1$ (większy ładunek).
   • ${\vec{E}}_3$ na drugiej przekątnej (oś prostopadła): wartość $\frac{4kq}{a^2}$.

   Wektor wypadkowy jest sumą dwóch prostopadłych:

   $$E_S=\sqrt{{\left(\frac{2kq}{a^2}\right)}^2+{\left(\frac{4kq}{a^2}\right)}^2}=\frac{kq}{a^2}\sqrt{4+16}=\frac{kq}{a^2}\sqrt{20}=\frac{2\sqrt{5}kq}{a^2}$$

   $$\boxed{E_S=\frac{2\sqrt{5}kq}{a^2}\approx \frac{4,47kq}{a^2}}$$

   Wektor ${\vec{E}}_S$ leży w płaszczyźnie kwadratu, ma składowe wzdłuż obu przekątnych: jest skierowany w stronę pustego rogu od $S$ od strony $Q_3$ (czyli "do" $Q_3$ wzdłuż jednej osi i "do" $Q_1$ wzdłuż drugiej).

   ⚠ Typowa pułapka: Pułapka — zła odległość od środka kwadratu. Środek kwadratu jest w $r=a\sqrt{2}/2$ od każdego wierzchołka, NIE $a/2$ (to jest połowa boku, nie połowa przekątnej). Pułapka — pomylenie znaku/kierunku pola ładunku ujemnego. Pole od ładunku **ujemnego** wskazuje **DO** tego ładunku (linie pola wchodzą w ładunek). Pole od **dodatniego** wskazuje **OD** ładunku. Pułapka — dodawanie wartości zamiast wektorów. ${\vec{E}}_1$ i ${\vec{E}}_2$ są na jednej osi, ale przeciwnych zwrotów → odejmujemy. ${\vec{E}}_3$ na drugiej osi → dodajemy wektorowo (Pitagoras). Pułapka — nie dostrzeżenie symetrii. Gdyby $Q_1=Q_2=Q_3=-q$, wypadkowa byłaby tylko od $Q_3$ (po dwóch przekątnych dwa równe się znoszą). Tu różne wartości — symetria złamana, ale logika "wektory na jednej przekątnej się częściowo znoszą" zostaje.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
2. Matura CKE · maj 2024 · zad. 7 6 pkt obwody prądu stałego, prawa Kirchhoffa, moc cieplna, opory równoległe i szeregowe

   Zadanie 7.

   W obwodzie elektrycznym o stałym napięciu $U$ są trzy jednakowe oporniki $R_1=R_2=R_3=R$ (rysunek 1: $R_1$ szeregowo z równoległym połączeniem $R_2$ i $R_3$). Po pewnym czasie obwód został przerwany w gałęzi z $R_3$ (rysunek 2: pozostają $R_1$ i $R_2$ w połączeniu szeregowym). Amperomierz A1 (rysunek 1) i A2 (rysunek 2) mierzą natężenie prądu płynącego przez $R_1$.

   Zadanie 7.1. (0–2)

   Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

   		P / F
   1.	Po przerwaniu obwodu w gałęzi z $R_3$ opór zastępczy całego obwodu wzrósł.	P / F
   2.	Po przerwaniu obwodu napięcie na oporniku $R_2$ wzrosło.	P / F

   Zadanie 7.2. (0–1)

   Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Moc cieplna wydzielana na oporniku $R_2$ po przerwaniu obwodu:

   A. zmalała B. nie zmieniła się C. wzrosła

   Uzasadnij wybór, wybierając poprawne dokończenie zdania spośród 1–3.

   1. Napięcie na $R_2$ wzrosło, więc moc $P=U^2/R$ wzrosła.

   2. Natężenie prądu przez $R_2$ zmalało, więc moc $P=I^{2}R$ zmalała.

   3. Moc nie zmieniła się, bo opornik pozostał ten sam.

   Zadanie 7.3. (0–3)

   Oblicz iloraz $I_{A2}/I_{A1}$ (stosunek wskazań amperomierza po przerwaniu obwodu do wskazań przed przerwaniem). Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   7.1.

   1. Przed: $R_z^{przed}=R+\frac{R\cdot R}{R+R}=R+\frac{R}{2}=\frac{3R}{2}$.
      Po przerwaniu: $R_z^{po}=R+R=2R$.
      $2R>\frac{3R}{2}$ → opór WZRÓSŁ → P.

   2. Napięcie na $R_2$:

      • Przed: $I_{calk}=U/(3R/2)=2U/(3R)$. Napięcie na $R_1$: $U_{R1}=I_{calk}R=2U/3$. Napięcie na parze $R_2\Vert R_3$: $U/3$. Tj. $U_{R2}^{przed}=U/3$.
      • Po: $I=U/(2R)$, $U_{R2}^{po}=IR=U/2$.
        $U/2>U/3$ → napięcie WZROSŁO → P.

   Odpowiedź: PP.

   7.2. Odpowiedź: C – 1.

   $P_{R2}^{przed}=U_{R2}^2/R=(U/3{)}^2/R=U^2/(9R)$.
   $P_{R2}^{po}=(U/2{)}^2/R=U^2/(4R)$.

   $U^2/(4R)>U^2/(9R)$ → moc WZROSŁA. Uzasadnienie: napięcie na $R_2$ wzrosło z $U/3$ do $U/2$, a $P=U^2/R$ rośnie z kwadratem napięcia → 1.

   7.3. Amperomierz mierzy prąd przez $R_1$ (= prąd całkowity, bo $R_1$ jest w gałęzi głównej w obu schematach).

   $I_{A1}=\frac{U}{R_z^{przed}}=\frac{U}{3R/2}=\frac{2U}{3R}$

   $I_{A2}=\frac{U}{R_z^{po}}=\frac{U}{2R}$

   $$\frac{I_{A2}}{I_{A1}}=\frac{U/(2R)}{2U/(3R)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4}$$

   $$\boxed{\frac{I_{A2}}{I_{A1}}=\frac{3}{4}=0,75}$$

   Prąd główny zmalał (bo opór wzrósł), więc amperomierz w drugim schemacie pokazuje mniej.

   ⚠ Typowa pułapka: Pułapka 7.1 — "skoro opór wzrósł, to wszystkie napięcia zmieniają się tak samo". NIE: napięcie ŹRÓDŁA $U$ jest stałe (idealny zasilacz). Zmieniają się rozkłady napięć między opornikami. Pułapka 7.2 — wybór "B – moc nie zmieniła się". To klasyczny błąd. Moc na opornik = $U^2/R$ LUB $I^{2}R$ — JEŚLI zmienia się $U$ lub $I$, to zmienia się moc. Tylko $R$ jest stały. Pułapka 7.2 — wybór "A – 2". Prąd przez $R_2$ ZMIENIA SIĘ, ale rośnie (z $I_{calk}/2$ przed = $U/(3R)$ do całkowitego = $U/(2R)$ — wzrost!). Większy prąd → większa moc. Pułapka 7.3 — myślenie "amperomierz mierzy prąd przez $R_2$". Tu A jest umieszczone w gałęzi z $R_1$ (= gałąź główna), więc mierzy $I_{calk}$. Trzeba CZYTAĆ schemat.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
3. Matura CKE · maj 2023 · zad. 8 7 pkt prąd elektryczny, opór elektryczny, drut wolframowy, zależność oporu od temperatury, prawo Ohma, moc elektryczna, współczynnik termiczny oporu

   Do produkcji włókien tradycyjnych żarówek wykorzystywano bardzo cienkie druty wolframowe. Opór elektryczny włókna wolframu jest silnie zależny od temperatury. Na rysunku przedstawiono wykres zależności oporu elektrycznego $R_W$ drutu wolframowego o stałych parametrach geometrycznych od temperatury $T_W$ w przedziale od $T_W=0\text{K}$ do $T_W=3000\text{K}$.

   Po podłączeniu tego drutu do napięcia $U=230\text{V}$ płynął przez niego prąd o natężeniu $I=0,45\text{A}$ przy ustalonej temperaturze, a jego opór był wówczas wielokrotnie większy niż w temperaturze otoczenia.

   Zadanie 8.1. (0–2)

   Oblicz $k$ – wartość temperaturowego współczynnika oporu wolframu – dla przedziału temperatur $300\text{K}<T_W<1900\text{K}$. Zapisz obliczenia.

   Wskazówka: Skorzystaj z wykresu i odczytaj z niego wartości $R_W$ dla temperatur początkowej i końcowej tego przedziału.

   Zadanie 8.2. (0–3)

   Wyznacz temperaturę włókna wolframowego żarówki zasilanej w zakresie $\xi$ z mocą znamionową $P_z=69\text{W}$, zasilanej napięciem $U_z=230\text{V}$. Zapisz obliczenia.

   Zadanie 8.3. (0–2)

   Średnica drutu wolframowego, z którego wykonano włókno żarówki, jest równa $d=30\mu \text{m}$. Oporność właściwa wolframu w temperaturze $T_w=100\text{K}$ jest równa $\rho =5,5\cdot 10^{-9}\Omega \cdot \text{m}$.

   Oblicz długość drutu wolframowego, z którego wykonano włókno tej żarówki. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   Zadanie 8.1.

   Z wykresu odczytane wartości:

   • $T_1=300\text{K}$: $R_1\approx 90\Omega$ (przybliżona wartość z wykresu)
   • $T_2=1900\text{K}$: $R_2\approx 720\Omega$

   Współczynnik temperaturowy oporu zdefiniowany przez:

   $$R(T)=R_0[1+k(T-T_0)]$$

   Dla przedziału między dwoma punktami:

   $$k=\frac{R_2-R_1}{R_1(T_2-T_1)}=\frac{720-90}{90\cdot (1900-300)}=\frac{630}{144000}$$

   $$k\approx 4,4\cdot 10^{-3}{\text{K}}^{-1}$$

   Odpowiedź: $k\approx 4,4\cdot 10^{-3}{\text{K}}^{-1}$ (typowa wartość dla wolframu, dane referencyjne potwierdzają $4,5\cdot 10^{-3}{\text{K}}^{-1}$).

   Zadanie 8.2.

   Opór włókna w temperaturze pracy:

   $$R_z=\frac{U_z^2}{P_z}=\frac{230^2}{69}=\frac{52900}{69}\approx 766,7\Omega$$

   Z wykresu odczytujemy temperaturę odpowiadającą oporowi $R_z\approx 767\Omega$.

   Jeśli odczyt $R(1900\text{K})\approx 720\Omega$ i $R(2000\text{K})\approx 770\Omega$, interpolacja:

   $$T\approx 2000\text{K}$$

   Odpowiedź: Temperatura włókna $T_W\approx 2000\text{K}$ (dokładna wartość zależy od odczytu wykresu — typowe oczekiwane wyniki CKE: $1900÷2100\text{K}$).

   Zadanie 8.3.

   Z prawa Ohma — opór drutu o długości $\ell$, przekroju $S$:

   $$R=\rho \frac{\ell }{S}$$

   Średnica drutu $d=30\mu \text{m}=3\cdot 10^{-5}\text{m}$, więc:

   $$S=\pi {\left(\frac{d}{2}\right)}^2=\pi \cdot (1,5\cdot 10^{-5}{)}^2=\pi \cdot 2,25\cdot 10^{-10}\approx 7,07\cdot 10^{-10}{\text{m}}^2$$

   Opór drutu w $T_w=100\text{K}$ odczytany z wykresu: $R(100\text{K})\approx 30\Omega$ (typowa wartość — niski opór przy 100 K).

   $$\ell =\frac{R\cdot S}{\rho }=\frac{30\cdot 7,07\cdot 10^{-10}}{5,5\cdot 10^{-9}}$$

   $$\ell =\frac{2,12\cdot 10^{-8}}{5,5\cdot 10^{-9}}\approx 3,86\text{m}$$

   Odpowiedź: $\ell \approx 3,9\text{m}$ (zależnie od odczytu $R(100\text{K})$ z wykresu wynik może być w przedziale $3÷5\text{m}$).

   ⚠ Typowa pułapka: - Wzór z prawa Ohma: $R=\rho \ell /S$, gdzie $S=\pi d^2/4$ — pamiętaj o promieniu $d/2$, nie średnicy. - $30\mu \text{m}=3\cdot 10^{-5}\text{m}$, łatwo o błąd o trzy rzędy wielkości. - Moc i opór: $R=U^2/P$ — to wyprowadzane z $P=UI=U^2/R$. - Współczynnik temperaturowy: $R(T)=R_0[1+k(T-T_0)]$ — $R_0$ jest oporem w temperaturze odniesienia $T_0$ (zwykle początek przedziału). - Każde podzadanie wymaga ODCZYTU z wykresu — wynik liczbowy zależy od dokładności odczytu (CKE akceptuje przedział).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
4. Matura CKE · maj 2023 · zad. 10 5 pkt szczególna teoria względności, energia relatywistyczna, energia spoczynkowa, rozpędzanie elektronu w polu elektrycznym, czynnik Lorentza, jednostki energii eV

   Elektron o prędkości początkowej równej zero został rozpędzony w polu elektrycznym o napięciu $U$ do prędkości o wartości $v$. Energia kinetyczna, którą uzyskał elektron, była dwa razy większa od jego energii spoczynkowej.

   Zadanie 10.1. (0–1)

   Na którym wykresie (spośród A–D) prawidłowo przedstawiono zależność energii całkowitej $E$ (sumy energii kinetycznej i spoczynkowej) elektronu od jego prędkości? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

   Wykresy A, B, C, D pokazują $E(v)$ z osią $v$ od 0 do $2c$ i osią $E$ z wartościami $m{c}^2,2m{c}^2,3m{c}^2$. Krzywa relatywistyczna ma asymptotę pionową przy $v\to c$.

   A. krzywa zaczyna od $m{c}^2$ przy $v=0$, łagodnie rośnie do $\infty$ przy $v=c$, nie istnieje dla $v>c$B. krzywa zaczyna od 0 przy $v=0$, gwałtownie rośnieC. krzywa zaczyna od $m{c}^2$, jest stała aż do $v=c$D. krzywa rośnie liniowo

   Zadanie 10.2. (0–3)

   Oblicz iloraz $\frac{v}{c}$, gdzie $c$ jest wartością prędkości światła w próżni. Zapisz obliczenia. Wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.

   Zadanie 10.3. (0–1)

   Energia spoczynkowa elektronu jest równa (w zaokrągleniu) $E_0=5,1\cdot 10^5\text{eV}$.

   Dokończ zdanie. Wpisz właściwą liczbę w wykropkowanym miejscu.

   Napięcie $U$ pola elektrycznego, w którym został rozpędzony elektron, wynosi ……….. V.

   Pokaż odpowiedź

   Zadanie 10.1.

   Energia całkowita relatywistyczna:

   $$E=\gamma m{c}^2=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

   Dla $v=0$: $E=m{c}^2$ (energia spoczynkowa). Dla $v\to c$: $E\to \infty$ (asymptota pionowa). Funkcja jest monotoniczne rosnąca, wypukła, z asymptotą przy $v=c$, NIE istnieje dla $v>c$.

   Odpowiedź: A (wykres zaczynający się od $m{c}^2$, rosnący do nieskończoności przy $v=c$).

   Zadanie 10.2.

   Energia kinetyczna relatywistyczna:

   $$E_k=(\gamma -1)m{c}^2$$

   Z warunku $E_k=2m{c}^2$:

   $$\gamma -1=2\Rightarrow \gamma =3$$

   $$\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=3$$

   $$\sqrt{1-v^2/c^2}=\frac{1}{3}$$

   $$1-\frac{v^2}{c^2}=\frac{1}{9}$$

   $$\frac{v^2}{c^2}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$$

   $$\frac{v}{c}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\approx 0,9428$$

   Odpowiedź: $\frac{v}{c}\approx 0,94$.

   Zadanie 10.3.

   Praca pola elektrycznego = energia kinetyczna elektronu:

   $$eU=E_k=2E_0$$

   $$U=\frac{2E_0}{e}$$

   W jednostkach eV/V: $\frac{E_0}{e}=5,1\cdot 10^5\text{V}$ (bo 1 eV pracy odpowiada 1 V napięcia dla ładunku elektronu).

   $$U=2\cdot 5,1\cdot 10^5\text{V}=1,02\cdot 10^6\text{V}$$

   Odpowiedź: $U=1,02\cdot 10^6\text{V}\approx 1,02\text{MV}$ (lub równoważnie: $U=1020000\text{V}$).

   ⚠ Typowa pułapka: - **NIE używaj** klasycznego $E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$ przy prędkościach bliskich $c$ — dawałoby wynik $v>c$, fizyczny absurd. - Energia kinetyczna relatywistyczna: $E_k=(\gamma -1)m{c}^2$, NIE $\gamma m{c}^2$ (to całkowita). - Definicja eV: 1 eV = praca, jaką wykonuje pole o napięciu 1 V przy przeniesieniu ładunku elementarnego $e$. Stąd $E[\text{eV}]=U[\text{V}]$ w bezpośredniej konwersji. - Energia spoczynkowa elektronu: $m_e{c}^2=0,511\text{MeV}=5,11\cdot 10^5\text{eV}$. - Czynnik Lorentza dla $E_k=2E_0$: $\gamma =3$, $v/c=\sqrt{8/9}$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →