Optyka: załamanie światła, soczewki, polaryzacja

5 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z fizyki (2023–2025). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

1. Matura CKE · maj 2025 · zad. 7 5 pkt optyka geometryczna, soczewki cienkie, konstrukcja obrazu

   Cienka soczewka szklana wytwarza obraz świecącego przedmiotu na ekranie. Przedmiot i ekran znajdują się po przeciwnych stronach soczewki. Na rysunku przedstawiono bieg dwóch charakterystycznych promieni przechodzących przez soczewkę.

   Zadanie 7.1. (0–2) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

   1. Obraz powstały na ekranie jest rzeczywisty.
   2. Soczewka jest skupiająca.
   3. Odległość przedmiotu od soczewki jest mniejsza niż jej ogniskowa.

   Zadanie 7.2. (0–3) Wyznacz konstrukcyjnie położenie środka optycznego soczewki $S$ oraz jej ogniska $F$. Podaj wartość ogniskowej $f$ w cm (odczyt z rysunku w skali).

   Pokaż odpowiedź

   7.1.

   • (1) P — obraz powstaje na ekranie, więc jest rzeczywisty (promienie się rzeczywiście
     przecinają).
   • (2) P — soczewka skupiająca, bo wytwarza obraz rzeczywisty (rozpraszająca daje wyłącznie
     pozorny).
   • (3) F — aby powstał obraz rzeczywisty, przedmiot musi być dalej niż ogniskowa,
     czyli $x>f$.

   7.2. Środek optyczny $S$ wyznaczamy jako przecięcie soczewki (osi głównej) z promieniem
   przechodzącym bez załamania. Ognisko $F$ wyznaczamy jako punkt, w którym promień równoległy
   do osi po przejściu przez soczewkę przecina oś. Z rysunku w skali ogniskowa $f\approx 4$ cm
   (dokładna wartość zależy od skali oryginału w arkuszu CKE).

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstsze błędy: pomylenie obrazu rzeczywistego z pozornym (rzeczywisty można zarzutować na ekran), pomylenie warunku $x>f$ (rzeczywisty) z $x<f$ (pozorny, powiększony), brak uwzględnienia skali rysunku przy odczycie $f$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
2. Matura CKE · maj 2025 · zad. 9 3 pkt polaryzacja światła, prawo Malusa

   Wiązka niespolaryzowanego światła o natężeniu $I$ pada prostopadle na dwa kolejne polaryzatory. Po przejściu przez pierwszy polaryzator natężenie światła wynosi $I_1=\frac{1}{2}I$. Oś transmisji drugiego polaryzatora tworzy kąt $\alpha =45^{\circ }$ z osią transmisji pierwszego.

   Zadanie 9.1. (0–1) Na rysunku przedstawiono wektor natężenia pola elektrycznego $\overrightarrow{E_1}$ fali świetlnej po przejściu przez pierwszy polaryzator. Narysuj wektor natężenia pola elektrycznego $\overrightarrow{E_2}$ fali świetlnej po przejściu przez drugi polaryzator. Zachowaj poprawną wartość długości wektora $\overrightarrow{E_2}$ względem $\overrightarrow{E_1}$.

   Zadanie 9.2. (0–2) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

   1. Wartość $E_1$ jest $\sqrt{2}$ razy większa od wartości $E_2$.
   2. Natężenie $I_1$ jest dwukrotnie większe od natężenia $I_2$.
   3. Natężenie $I$ wiązki padającej jest czterokrotnie większe od natężenia $I_2$ wiązki za drugim polaryzatorem.
   Pokaż odpowiedź

   9.1. Składowa $\overrightarrow{E_1}$ wzdłuż osi drugiego polaryzatora to $E_2=E_1\cos \alpha =E_1\cos 45^{\circ }=\frac{E_1}{\sqrt{2}}$.
   Wektor $\overrightarrow{E_2}$ rysujemy wzdłuż osi drugiego polaryzatora, o długości $\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot |\overrightarrow{E_1}|$.

   9.2. Z prawa Malusa $I_2=I_1{\cos }^2\alpha =\frac{1}{2}{I}_1$ dla $\alpha =45^{\circ }$.

   • (1) P — $E_1/E_2=1/\cos 45^{\circ }=\sqrt{2}$.
   • (2) P — $I_2=I_1{\cos }^{2}45^{\circ }=\frac{1}{2}{I}_1$, więc $I_1=2I_2$.
   • (3) P — $I_2=\frac{1}{2}{I}_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}I=\frac{1}{4}I$,
     więc $I=4I_2$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstsze błędy: użycie $\cos \alpha$ zamiast ${\cos }^2\alpha$ przy natężeniach (prawo Malusa dotyczy natężeń, $I\propto E^2$), niepoprawne dodawanie składowych $\vec{E}$ (wektorowo, nie arytmetycznie), zapomnienie o czynniku $\frac{1}{2}$ przy światle niespolaryzowanym.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
3. Matura CKE · maj 2024 · zad. 9 5 pkt optyka, soczewki, równanie soczewki, ogniskowa, układ optyczny

   Zadanie 9.

   W układzie optycznym ustawiono dwie cienkie soczewki skupiające ze wspólną osią optyczną: soczewka $S_1$ o ogniskowej $f_1=15\mathrm{cm}$ i soczewka $S_2$ o ogniskowej $f_2=20\mathrm{cm}$. Soczewki są ustawione tak, że ognisko $F$ leży między nimi i jest WSPÓLNYM ogniskiem obu soczewek (ognisko obrazowe $S_1$ pokrywa się z ogniskiem przedmiotowym $S_2$). Z lewej strony pada wiązka światła równoległa do osi optycznej, o szerokości $d_1=2,25\mathrm{mm}$.

   Zadanie 9.1. (0–3)

   Oblicz szerokość $d_2$ wiązki światła wychodzącej z układu (po drugiej stronie $S_2$). Zapisz obliczenia.

   Zadanie 9.2. (0–2)

   Do układu dodano kolejne dwie soczewki w tej samej osi optycznej:

   • soczewka $R$ — rozpraszająca, ogniskowa $f_R=-15\mathrm{cm}$,
   • soczewka $S$ — skupiająca, ogniskowa $f_S=40\mathrm{cm}$.

   Określ ustawienie soczewek $R$ i $S$ w nowym układzie tak, aby wiązka równoległa wychodząca z $S_2$ pozostała równoległa po przejściu przez dodane soczewki, a układ działał jako kolejny "teleskop" wewnątrz teleskopu.

   Pokaż odpowiedź

   9.1. Układ to klasyczny teleskop Keplera (lub odwrócony lornetkowy): dwie soczewki ustawione tak, że ich ogniska się pokrywają w punkcie $F$. Wiązka równoległa wchodzi → skupia się w $F$ → wychodzi znów jako równoległa, ale o innej szerokości.

   Geometria — promień skrajny biegnie z $S_1$ pod kątem ${\alpha }_1$ do osi:
   $$\tan {\alpha }_1=\frac{d_1/2}{f_1}=\frac{1,125\mathrm{mm}}{150\mathrm{mm}}=0,0075$$

   Po przejściu przez $F$ promień rozszerza się i pada na $S_2$ w wysokości $h_2=f_2\tan {\alpha }_1$:
   $$h_2=200\cdot 0,0075=1,5\mathrm{mm}$$

   Stąd szerokość wiązki za $S_2$:
   $$d_2=2h_2=3,0\mathrm{mm}$$

   Równoważnie — z proporcji powiększenia kątowego teleskopu:
   $$\frac{d_2}{d_1}=\frac{f_2}{f_1}=\frac{20}{15}=\frac{4}{3}$$
   $$d_2=2,25\cdot \frac{4}{3}=3,0\mathrm{mm}$$

   $$\boxed{d_2=3,0\mathrm{mm}}$$

   9.2. Aby wiązka równoległa pozostała równoległa po przejściu przez kolejną parę soczewek, ogniska soczewek $R$ i $S$ muszą się pokrywać.

   • Soczewka $R$ jest rozpraszająca ($f_R=-15$ cm). Ognisko obrazowe leży przed soczewką (po stronie wiązki padającej).
   • Soczewka $S$ jest skupiająca ($f_S=40$ cm). Ognisko przedmiotowe leży przed soczewką.

   Aby ogniska się pokryły: $R$ i $S$ muszą być umieszczone tak, by ognisko obrazowe $R$ (= 15 cm PRZED $R$) pokrywało się z ogniskiem przedmiotowym $S$ (= 40 cm przed $S$). Stąd:

   $$d_{RS}=f_S-|f_R|=40-15=25\mathrm{cm}$$

   Czyli $R$ należy ustawić 25 cm przed $S$ (między $S_2$ a $S$), w takiej odległości, że soczewka $S$ leży 40 cm za ogniskiem wspólnym, a soczewka $R$ — 15 cm za tym ogniskiem (po stronie $S$).

   Powiększenie kątowe drugiej pary: $\frac{d_3}{d_2}=\frac{|f_S|}{|f_R|}=\frac{40}{15}=\frac{8}{3}$.

   Wiązka wychodząca z układu $R+S$ ma szerokość $d_3=d_2\cdot \frac{8}{3}=3,0\cdot \frac{8}{3}=8\mathrm{mm}$.

   ⚠ Typowa pułapka: Pułapka 9.1 — zastosowanie równania soczewki $1/x+1/y=1/f$ dla wiązki równoległej. NIE: wiązka równoległa = "przedmiot w nieskończoności" → obraz w ognisku ($y=f$). Ponieważ tu jest UKŁAD dwóch soczewek z pokrywającymi się ogniskami, wystarcza geometria. Pułapka 9.1 — pomylenie powiększenia liniowego z kątowym. Tu liczy się **szerokość wiązki**, która zachowuje się jak rozmiar liniowy obrazu (powiększenie = $f_2/f_1$ dla teleskopu odwróconego: wiązka się POSZERZA, NIE zwęża). Pułapka 9.2 — pomylenie znaków $f$ dla soczewki rozpraszającej. $f_R=-15$ cm: ognisko jest "pozorne", leży po stronie przedmiotu. Geometryczna odległość między soczewkami w "teleskopie" z jedną rozpraszającą i jedną skupiającą: $|f_S|-|f_R|$ (RÓŻNICA, nie suma — jak w lornetce Galileusza). Pułapka 9.2 — założenie że soczewka rozpraszająca "psuje" wiązkę. W odpowiednim układzie ją rozszerza, ale ZACHOWUJE równoległość (tak działa lornetka Galileusza, popularne teleobiektywy).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
4. Matura CKE · maj 2023 · zad. 4 5 pkt efekt Dopplera, fale elektromagnetyczne, prędkość światła, sonda kosmiczna, częstotliwość, długość fali

   Sonda kosmiczna oddala się od Ziemi z prędkością $\vec{v}$ wzdłuż prostej przechodzącej przez środek Ziemi. Ta sonda emituje w stronę Ziemi falę elektromagnetyczną o częstotliwości dokładnie $f_{\mathcal{Z}r}=3\text{GHz}$ (podana częstotliwość jest określona w układzie odniesienia związanym z sondą, czyli jest częstotliwością źródła fali). Sytuację ilustruje rysunek poglądowy poniżej (odległości na rysunku są umowne).

   Odbierana na Ziemi fala ma częstotliwość $f_{\mathcal{Z}}$ różniącą się od częstotliwości źródła fali o $|\Delta f|=750\text{kHz}$. Wartość prędkości światła w próżni oznaczamy jako $c$. Przyjmij, że $v\ll c$ oraz $c=3\cdot 10^8\text{m/s}$.

   Zadanie 4.1. (0–1)

   Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C i jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

   Fala elektromagnetyczna wysyłana przez sondę porusza się względem Ziemi z prędkością równą

   A. $c-v$ B. $c$, ponieważ C. $c+v$

   1. prędkość fali elektromagnetycznej jest niezależna od ruchu źródła tej fali. 2. źródło oddalające się od Ziemi unosi ze sobą falę elektromagnetyczną i zmniejsza jej prędkość. 3. prędkość fali elektromagnetycznej jest zawsze powiększona o prędkość źródła tej fali.

   Zadanie 4.2. (0–1)

   Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

   Zarejestrowana na Ziemi częstotliwość $f_{\mathcal{Z}}$ fali elektromagnetycznej wyemitowanej przez sondę jest równa

   A. $3,75000\text{GHz}$B. $2,25000\text{GHz}$C. $3,00075\text{GHz}$D. $2,99925\text{GHz}$

   Zadanie 4.3. (0–1)

   Zarejestrowaną na Ziemi długość fali elektromagnetycznej wyemitowanej przez sondę oznaczamy jako ${\lambda }_{\mathcal{Z}}$, a długość tej fali elektromagnetycznej w układzie odniesienia związanego z sondą oznaczamy jako ${\lambda }_{\mathcal{Z}r}$.

   Oceń prawdziwość poniższych relacji. Zaznacz P, jeśli relacja jest prawdziwa, albo F – jeśli jest fałszywa.

   Nr	Relacja	P/F
   1.	${\lambda }_{\mathcal{Z}r}\approx 0,10\text{m}$	P / F
   2.	${\lambda }_{\mathcal{Z}}>{\lambda }_{\mathcal{Z}r}$	P / F

   Zadanie 4.4. (0–2)

   Oblicz $v$ – wartość prędkości sondy względem Ziemi. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   Zadanie 4.1.

   Odpowiedź: B – 1.

   Prędkość fali elektromagnetycznej w próżni jest zawsze równa $c$ niezależnie od ruchu źródła (II postulat szczególnej teorii względności).

   Zadanie 4.2.

   Źródło oddala się od obserwatora → częstotliwość rejestrowana mniejsza od częstotliwości źródła (red shift). Przesunięcie $|\Delta f|=750\text{kHz}=0,00075\text{GHz}$.

   $$f_{\mathcal{Z}}=f_{\mathcal{Z}r}-|\Delta f|=3,00000-0,00075=2,99925\text{GHz}$$

   Odpowiedź: D.

   Zadanie 4.3.

   1. ${\lambda }_{\mathcal{Z}r}=c/f_{\mathcal{Z}r}=3\cdot 10^8/(3\cdot 10^9)=0,10\text{m}$. P
   2. Ponieważ $f_{\mathcal{Z}}<f_{\mathcal{Z}r}$ oraz $\lambda =c/f$, to ${\lambda }_{\mathcal{Z}}>{\lambda }_{\mathcal{Z}r}$. P

   Zadanie 4.4.

   Dla $v\ll c$ klasyczny wzór dopplerowski dla EM (oddalanie):

   $$\frac{|\Delta f|}{f_{\mathcal{Z}r}}=\frac{v}{c}$$

   $$v=c\cdot \frac{|\Delta f|}{f_{\mathcal{Z}r}}=3\cdot 10^8\cdot \frac{750\cdot 10^3}{3\cdot 10^9}$$

   $$v=3\cdot 10^8\cdot 2,5\cdot 10^{-4}=7,5\cdot 10^4\text{m/s}=75\text{km/s}$$

   Odpowiedź: $v=75\text{km/s}$.

   ⚠ Typowa pułapka: - Prędkość światła jest niezmiennikiem — NIE dodawaj $\pm v$. To klasyczny błąd "newtonowskiego" myślenia. - Oddalanie → red shift → $f_{\mathcal{Z}}<f_{\mathcal{Z}r}$, ${\lambda }_{\mathcal{Z}}>{\lambda }_{\mathcal{Z}r}$. - Wzór dopplerowski klasyczny dla EM przy $v\ll c$: $\Delta f/f=v/c$. - Jednostki: $|\Delta f|=750\text{kHz}=7,5\cdot 10^5\text{Hz}$, $f_{\mathcal{Z}r}=3\cdot 10^9\text{Hz}$. Stosunek $=2,5\cdot 10^{-4}$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
5. Matura CKE · maj 2023 · zad. 9 6 pkt optyka geometryczna, prawo Snella, załamanie światła, odbicie wewnętrzne, prędkość światła w ośrodku, współczynnik załamania, krążek szklany

   Promień światła monochromatycznego biegnie w powietrzu i pada na brzeg szklanego krążka w punkcie $A$. Kąt padania w punkcie $A$ jest równy $\alpha$, a kąt załamania tego promienia jest równy $\beta$. Część promienia, która wniknęła do szkła w punkcie $A$, pada dalej na brzeg krążka w punkcie $D$. Na rysunku 1. (poniżej) oraz na rysunku 2. (na stronie 23) przedstawiono bieg promienia tylko do punktu $D$, przy czym pominięto część promienia odbitą w punkcie $A$. Kreskami przerywanymi oznaczono odcinki pomocnicze. Punkt $O$ jest środkiem krążka.

   Zadanie 9.1. (0–3)

   Część promienia $AD$, która pada na brzeg krążka od strony szkła w punkcie $D$, odbija się z powrotem do szkła, a część tego promienia załamuje się i biegnie dalej w powietrzu. Kąty: padania, załamania i odbicia promienia $AD$ w punkcie $D$, oznaczamy – odpowiednio – jako: ${\gamma }_{\text{pad}},{\gamma }_{\text{zał}},{\gamma }_{\text{odb}}$.

   Narysuj na rysunku 1. dalszy bieg promienia załamanego i odbitego w punkcie $D$. Oznacz łukami i podpisz w odpowiednich miejscach kąty: ${\gamma }_{\text{pad}},{\gamma }_{\text{odb}},{\gamma }_{\text{zał}}$, a następnie określ relację między miarami odpowiednich kątów – wpisz w każde wykropkowane miejsce odpowiedni znak wybrany spośród: $>,=,<$.

   ${\gamma }_{\text{pad}}\dots {\gamma }_{\text{odb}}$
   ${\gamma }_{\text{pad}}\dots {\gamma }_{\text{zał}}$
   ${\gamma }_{\text{zał}}\dots \alpha$

   Zadanie 9.2. (0–3)

   Na rysunku 2. odcinek $AC$ jest geometrycznym przedłużeniem promienia padającego na krążek. Długości odcinków oznaczonych na rysunku 2. wynoszą (w zaokrągleniu): $|AB|\approx 9,0\text{cm}$, $|AC|\approx 4,5\text{cm}$, $|AD|\approx 7,7\text{cm}$, $|BC|\approx 7,8\text{cm}$, $|BD|\approx 4,8\text{cm}$.

   Przyjmij, że wartość prędkości światła w próżni jest równa wartości prędkości światła w powietrzu.

   Oblicz wartość prędkości światła w szkle, z którego jest wykonany krążek. Zapisz obliczenia. Wykorzystaj niektóre z podanych długości odcinków. Wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.

   Pokaż odpowiedź

   Zadanie 9.1.

   Z prawa odbicia: kąt padania = kąt odbicia, więc ${\gamma }_{\text{pad}}={\gamma }_{\text{odb}}$.

   W punkcie $A$: promień przechodzi z powietrza (mniej gęste) do szkła (gęstsze), zatem $\beta <\alpha$ (załamuje się ku normalnej).

   W punkcie $D$: promień przechodzi ze szkła do powietrza. Z geometrii krążka okrągłego — kąt ${\gamma }_{\text{pad}}$ w $D$ jest równy kątowi $\beta$ w $A$ (gdyż odcinek $AD$ jest cięciwą, a normalne w $A$ i $D$ to promienie krążka — trójkąt $AOD$ jest równoramienny). Z prawa Snella w punkcie $D$:

   $$n_{\text{szkło}}\sin {\gamma }_{\text{pad}}=n_{\text{pow}}\sin {\gamma }_{\text{zał}}$$

   Skoro szło z gęstszego do rzadszego, ${\gamma }_{\text{zał}}>{\gamma }_{\text{pad}}$.

   Dodatkowo, z symetrii (ponieważ kąt padania w $D$ = kąt załamania w $A$ = $\beta$, a kąt załamania w $D$ wyliczany jest tym samym Snellem co kąt padania w $A$): ${\gamma }_{\text{zał}}=\alpha$.

   Relacje:

   • ${\gamma }_{\text{pad}}={\gamma }_{\text{odb}}$ (prawo odbicia)
   • ${\gamma }_{\text{pad}}<{\gamma }_{\text{zał}}$ (przejście szkło → powietrze)
   • ${\gamma }_{\text{zał}}=\alpha$ (symetria cięciwy)

   Zadanie 9.2.

   Z konstrukcji rysunku: w punkcie $A$ tworzymy trójkąty zawierające kąty $\alpha$ i $\beta$. Z geometrii odcinek $BC$ (rzut na linię równoległą do powierzchni krążka) odpowiada $\sin \alpha$, a odcinek $BD$ odpowiada $\sin \beta$ (oba w skali $|AB|$ jako przeciwprostokątnej).

   $$\sin \alpha =\frac{BC}{AB}=\frac{7,8}{9,0}\approx 0,867$$

   $$\sin \beta =\frac{BD}{AB}=\frac{4,8}{9,0}\approx 0,533$$

   Współczynnik załamania szkła:

   $$n=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{0,867}{0,533}\approx 1,625$$

   Prędkość światła w szkle:

   $$v_{\text{szkło}}=\frac{c}{n}=\frac{3\cdot 10^8}{1,625}\approx 1,846\cdot 10^8\text{m/s}$$

   Odpowiedź: $v_{\text{szkło}}\approx 1,8\cdot 10^8\text{m/s}$.

   ⚠ Typowa pułapka: - Prawo Snella: $n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$. NIE $n_1{\theta }_1=n_2{\theta }_2$ (myli się przy małych kątach). - Przejście rzadszy→gęstszy: kąt maleje. Gęstszy→rzadszy: kąt rośnie. - W kole/krążku: normalna w każdym punkcie krawędzi to **promień** krążka. To używa się przy konstrukcji geometrycznej. - Symetria w cięciwie: trójkąt $AOD$ jest równoramienny ($|OA|=|OD|=$ promień), więc kąty przy podstawie są równe → kąt padania w $A$ wewnątrz szkła = kąt padania w $D$ wewnątrz szkła. - Prędkość światła w ośrodku: $v=c/n$, $n>1$ dla wszystkich ośrodków innych niż próżnia.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →