Grawitacja i astronomia: prawa Keplera, ruch orbitalny

5 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z fizyki (2023–2025). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

1. Matura CKE · maj 2025 · zad. 5 6 pkt grawitacja, ruch po orbicie eliptycznej, prawa Keplera

   Planetoida Chiron krąży wokół Słońca po orbicie eliptycznej. Odległość peryhelium (najbliższego punktu od Słońca) wynosi $r_P=8,5\text{ au}$, a odległość aphelium — $r_A=18,9\text{ au}$ (gdzie 1 au to średnia odległość Ziemi od Słońca).

   Zadanie 5.1. (0–2) Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. (Wektor przyspieszenia Chirona, możliwe punkty wspólne orbity z orbitą Ziemi, porównanie okresu obiegu Chirona z okresem ziemskim.)

   Zadanie 5.2. (0–1) Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1, 2 albo 3. (Porównanie wartości prędkości w peryhelium i aphelium oraz zachowanie momentu pędu lub energii mechanicznej.)

   Zadanie 5.3. (0–3) Oblicz okres obiegu planetoidy Chiron wokół Słońca. Wynik podaj w latach ziemskich. Skorzystaj z III prawa Keplera.

   Pokaż odpowiedź

   5.1. Wektor przyspieszenia w każdym punkcie orbity skierowany jest do Słońca (siła grawitacji).
   Okres obiegu Chirona jest większy od ziemskiego (większa półoś wielka).

   5.2. Z zasady zachowania momentu pędu: $m{v}_P{r}_P=m{v}_A{r}_A$, więc
   $\frac{v_P}{v_A}=\frac{r_A}{r_P}=\frac{18,9}{8,5}\approx 2,22$.

   5.3. Półoś wielka orbity Chirona:
   $$a=\frac{r_P+r_A}{2}=\frac{8,5+18,9}{2}=13,7\text{ au}$$

   Z III prawa Keplera ($T^2=a^3$ w jednostkach lat i au):
   $$T=a^{3/2}=13,7^{1,5}\approx 50,7\text{ lat ziemskich}$$

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstsze błędy: użycie odległości aphelium lub peryhelium jako półosi (zamiast średniej), pomylenie zasady zachowania momentu pędu z zachowaniem energii (różne równania), pomylenie jednostek w III prawie Keplera ($T$ w sekundach zamiast latach).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
2. Matura CKE · maj 2024 · zad. 5 5 pkt grawitacja, prawo powszechnego ciążenia, punkt Lagrange'a, równowaga sił

   Zadanie 5.

   Masa Ziemi $M_Z$ jest 81,28 razy większa od masy Księżyca $M_K$. Średnia odległość między środkami Ziemi i Księżyca wynosi $|ZK|=384400\mathrm{km}$.

   Zadanie 5.1. (0–2)

   Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

   		P / F
   1.	Wartość siły, z jaką Ziemia działa na Księżyc, jest większa od wartości siły, z jaką Księżyc działa na Ziemię.	P / F
   2.	Średnie przyśpieszenie grawitacyjne Księżyca w polu Ziemi jest mniejsze od średniego przyśpieszenia grawitacyjnego Ziemi w polu Księżyca.	P / F

   Zadanie 5.2. (0–3)

   Oblicz odległość $|ZP|$ punktu $P$, leżącego na odcinku $ZK$, w którym wypadkowa siła grawitacji działająca na ciało próbne pochodząca od Ziemi i Księżyca jest równa zero. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   5.1.

   1. III zasada Newtona: $F_{Z\to K}=F_{K\to Z}$ (siły wzajemnego oddziaływania równe co do wartości). → twierdzenie "większa" = F.

   2. $a=F/m$. Te same siły, ale Ziemia ma $\sim 81$ razy większą masę → $a_Z=F/M_Z$ JEST $\sim 81$ razy mniejsze od $a_K=F/M_K$.

      • "$a_K$ w polu Ziemi" = $G{M}_Z/r^2$ (duże).
      • "$a_Z$ w polu Księżyca" = $G{M}_K/r^2$ (małe).
      • Stąd $a_K>a_Z$ → twierdzenie "$a_K<a_Z$" = F.

   Odpowiedź: FF.

   5.2. W punkcie $P$ między Ziemią a Księżycem siły grawitacji od Z i K na ciało próbne są przeciwnie skierowane i równe co do wartości.

   Oznaczmy $|ZP|=x$, $|PK|=d-x$, gdzie $d=384400$ km. Warunek:

   $$\frac{G{M}_{Z}m}{x^2}=\frac{G{M}_{K}m}{(d-x{)}^2}$$

   $$\frac{M_Z}{M_K}=\frac{x^2}{(d-x{)}^2}=81,28$$

   $$\frac{x}{d-x}=\sqrt{81,28}\approx 9,016$$

   $$x=9,016(d-x)=9,016d-9,016x$$

   $$10,016x=9,016d$$

   $$x=\frac{9,016}{10,016}\cdot d\approx 0,9001\cdot 384400\approx 346000\mathrm{km}$$

   $$\boxed{|ZP|\approx 346000\mathrm{km}\approx 3,46\cdot 10^5\mathrm{km}}$$

   (Sprawdzenie: $|PK|\approx 38400$ km — punkt znacznie bliżej Księżyca, mimo że Księżyc jest ~81× lżejszy. To słuszne, bo siła $\propto 1/r^2$, a stosunek odległości = $\sqrt{81}=9$.)

   ⚠ Typowa pułapka: Pułapka 5.1.1 — myślenie "Ziemia jest większa, więc działa silniej". III zasada N. mówi że siły wzajemne SĄ RÓWNE. Co innego — **skutki** (przyśpieszenia) różnią się, bo $a=F/m$. Pułapka 5.1.2 — pomylenie "$a$ Księżyca w polu Z" vs "$a$ Ziemi w polu K". W obu przypadkach jest ta sama $F$ wzajemna, ale dzielimy przez masę DRUGIEGO ciała. Stąd ciało lżejsze ma większe $a$. Pułapka 5.2 — wyciągnięcie pierwiastka tylko z liczby, nie z całego wyrażenia. $\frac{x}{d-x}=\sqrt{M_Z/M_K}$, NIE $\sqrt{x/(d-x)}=M_Z/M_K$. Pułapka 5.2 — położenie punktu PO ZEWNĘTRZNEJ stronie Księżyca (tj. $x>d$). Tam siły byłyby SKIEROWANE W TĘ SAMĄ STRONĘ (obie do środka układu Z-K), więc nigdy się nie zrównoważą.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
3. Matura CKE · maj 2023 · zad. 4 5 pkt efekt Dopplera, fale elektromagnetyczne, prędkość światła, sonda kosmiczna, częstotliwość, długość fali

   Sonda kosmiczna oddala się od Ziemi z prędkością $\vec{v}$ wzdłuż prostej przechodzącej przez środek Ziemi. Ta sonda emituje w stronę Ziemi falę elektromagnetyczną o częstotliwości dokładnie $f_{\mathcal{Z}r}=3\text{GHz}$ (podana częstotliwość jest określona w układzie odniesienia związanym z sondą, czyli jest częstotliwością źródła fali). Sytuację ilustruje rysunek poglądowy poniżej (odległości na rysunku są umowne).

   Odbierana na Ziemi fala ma częstotliwość $f_{\mathcal{Z}}$ różniącą się od częstotliwości źródła fali o $|\Delta f|=750\text{kHz}$. Wartość prędkości światła w próżni oznaczamy jako $c$. Przyjmij, że $v\ll c$ oraz $c=3\cdot 10^8\text{m/s}$.

   Zadanie 4.1. (0–1)

   Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C i jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

   Fala elektromagnetyczna wysyłana przez sondę porusza się względem Ziemi z prędkością równą

   A. $c-v$ B. $c$, ponieważ C. $c+v$

   1. prędkość fali elektromagnetycznej jest niezależna od ruchu źródła tej fali. 2. źródło oddalające się od Ziemi unosi ze sobą falę elektromagnetyczną i zmniejsza jej prędkość. 3. prędkość fali elektromagnetycznej jest zawsze powiększona o prędkość źródła tej fali.

   Zadanie 4.2. (0–1)

   Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

   Zarejestrowana na Ziemi częstotliwość $f_{\mathcal{Z}}$ fali elektromagnetycznej wyemitowanej przez sondę jest równa

   A. $3,75000\text{GHz}$B. $2,25000\text{GHz}$C. $3,00075\text{GHz}$D. $2,99925\text{GHz}$

   Zadanie 4.3. (0–1)

   Zarejestrowaną na Ziemi długość fali elektromagnetycznej wyemitowanej przez sondę oznaczamy jako ${\lambda }_{\mathcal{Z}}$, a długość tej fali elektromagnetycznej w układzie odniesienia związanego z sondą oznaczamy jako ${\lambda }_{\mathcal{Z}r}$.

   Oceń prawdziwość poniższych relacji. Zaznacz P, jeśli relacja jest prawdziwa, albo F – jeśli jest fałszywa.

   Nr	Relacja	P/F
   1.	${\lambda }_{\mathcal{Z}r}\approx 0,10\text{m}$	P / F
   2.	${\lambda }_{\mathcal{Z}}>{\lambda }_{\mathcal{Z}r}$	P / F

   Zadanie 4.4. (0–2)

   Oblicz $v$ – wartość prędkości sondy względem Ziemi. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   Zadanie 4.1.

   Odpowiedź: B – 1.

   Prędkość fali elektromagnetycznej w próżni jest zawsze równa $c$ niezależnie od ruchu źródła (II postulat szczególnej teorii względności).

   Zadanie 4.2.

   Źródło oddala się od obserwatora → częstotliwość rejestrowana mniejsza od częstotliwości źródła (red shift). Przesunięcie $|\Delta f|=750\text{kHz}=0,00075\text{GHz}$.

   $$f_{\mathcal{Z}}=f_{\mathcal{Z}r}-|\Delta f|=3,00000-0,00075=2,99925\text{GHz}$$

   Odpowiedź: D.

   Zadanie 4.3.

   1. ${\lambda }_{\mathcal{Z}r}=c/f_{\mathcal{Z}r}=3\cdot 10^8/(3\cdot 10^9)=0,10\text{m}$. P
   2. Ponieważ $f_{\mathcal{Z}}<f_{\mathcal{Z}r}$ oraz $\lambda =c/f$, to ${\lambda }_{\mathcal{Z}}>{\lambda }_{\mathcal{Z}r}$. P

   Zadanie 4.4.

   Dla $v\ll c$ klasyczny wzór dopplerowski dla EM (oddalanie):

   $$\frac{|\Delta f|}{f_{\mathcal{Z}r}}=\frac{v}{c}$$

   $$v=c\cdot \frac{|\Delta f|}{f_{\mathcal{Z}r}}=3\cdot 10^8\cdot \frac{750\cdot 10^3}{3\cdot 10^9}$$

   $$v=3\cdot 10^8\cdot 2,5\cdot 10^{-4}=7,5\cdot 10^4\text{m/s}=75\text{km/s}$$

   Odpowiedź: $v=75\text{km/s}$.

   ⚠ Typowa pułapka: - Prędkość światła jest niezmiennikiem — NIE dodawaj $\pm v$. To klasyczny błąd "newtonowskiego" myślenia. - Oddalanie → red shift → $f_{\mathcal{Z}}<f_{\mathcal{Z}r}$, ${\lambda }_{\mathcal{Z}}>{\lambda }_{\mathcal{Z}r}$. - Wzór dopplerowski klasyczny dla EM przy $v\ll c$: $\Delta f/f=v/c$. - Jednostki: $|\Delta f|=750\text{kHz}=7,5\cdot 10^5\text{Hz}$, $f_{\mathcal{Z}r}=3\cdot 10^9\text{Hz}$. Stosunek $=2,5\cdot 10^{-4}$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
4. Matura CKE · maj 2023 · zad. 5 4 pkt grawitacja, ruch orbitalny, III prawo Keplera, prawo powszechnego ciążenia, orbita eliptyczna, czarna dziura supermasywna, Sagittarius A

   Sagittarius A* (Sgr A*) to bardzo masywny obiekt znajdujący się w centrum naszej galaktyki. Gwiazda znana jako S2 obiega obiekt Sgr A* po wydłużonej orbicie eliptycznej. Parametry tego ruchu orbitalnego są następujące:

   • okres obiegu S2 dookoła Sgr A* wynosi $T_{S2}=16$ lat ziemskich
   • najmniejsza odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa $r_P=120\text{au}$
   • największa odległość środka S2 od centrum Sgr A* jest równa $r_A=1820\text{au}$.

   Przyjmij, że Sgr A* się nie porusza, oraz pomiń wpływ innych ciał na ruch S2. W opisanej sytuacji przedstawionej na rysunku 1. zaznaczono również wektor $\vec{v}$ prędkości środka S2 w przedstawionym położeniu na orbicie.

   Zadanie 5.1. (0–1)

   Na rysunku 2. narysuj wektor przyspieszenia $\vec{a}$ środka gwiazdy S2 w oznaczonym położeniu na orbicie. Zachowaj odpowiedni kierunek i zwrot tego wektora (długość może być dowolna).

   Zadanie 5.2. (0–1)

   Wartość prędkości środka S2 w punkcie $P$ orbity oznaczamy jako $v_P$, a wartość prędkości środka S2 w punkcie $A$ orbity oznaczamy jako $v_A$. Prędkość środka S2 w punkcie $P$ lub w punkcie $A$ jest prostopadła do promienia wodzącego (odcinka łączącego środki S2 i Sgr A*).

   Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

   Iloraz $\frac{v_P}{v_A}$ jest równy (w zaokrągleniu do trzech cyfr znaczących):

   A. $\frac{v_P}{v_A}\approx 0,00435$B. $\frac{v_P}{v_A}\approx 0,0659$C. $\frac{v_P}{v_A}\approx 15,2$D. $\frac{v_P}{v_A}\approx 230$

   Zadanie 5.3. (0–2)

   Masę obiektu Sgr A* oznaczamy jako $M_{SA}$, a masę Słońca oznaczamy jako $M_S$. Przyjmij, że Ziemia porusza się dookoła Słońca po orbicie kołowej o promieniu $a_Z=1,0\text{au}$ z okresem obiegu $T_Z=1,0\text{roku}$. Długość półosi wielkiej orbity gwiazdy S2, poruszającej się wokół obiektu Sgr A*, zgodnie z oznaczeniami na rysunku 1. (strona 12), jest równa $\frac{|PA|}{2}$.

   Oblicz iloraz $\frac{M_{SA}}{M_S}$. Zapisz obliczenia. Wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.

   Pokaż odpowiedź

   Zadanie 5.1.

   Przyspieszenie grawitacyjne S2 zawsze skierowane jest od środka S2 ku środkowi Sgr A* (centrum siły). Wektor $\vec{a}$ rysujemy w środku S2, skierowany wzdłuż linii łączącej oba środki, ku Sgr A* (czyli ku ognisku elipsy, w którym leży Sgr A*).

   Zadanie 5.2.

   W punktach peryhelium ($P$) i aphelium ($A$) prędkość jest prostopadła do promienia wodzącego, więc moment pędu:

   $$L=m\cdot v_P\cdot r_P=m\cdot v_A\cdot r_A$$

   $$\frac{v_P}{v_A}=\frac{r_A}{r_P}=\frac{1820}{120}\approx 15,17\approx 15,2$$

   Odpowiedź: C.

   Zadanie 5.3.

   Półoś wielka orbity S2:

   $$a_{S2}=\frac{r_P+r_A}{2}=\frac{120+1820}{2}=970\text{au}$$

   III prawo Keplera dla różnych ciał centralnych:

   $$\frac{T^2}{a^3}=\frac{4{\pi }^2}{GM}$$

   Dla Ziemi wokół Słońca i S2 wokół Sgr A*:

   $$\frac{T_{S2}^2}{a_{S2}^3}\cdot M_{SA}=\frac{T_Z^2}{a_Z^3}\cdot M_S$$

   $$\frac{M_{SA}}{M_S}=\frac{a_{S2}^3/T_{S2}^2}{a_Z^3/T_Z^2}={\left(\frac{a_{S2}}{a_Z}\right)}^3\cdot {\left(\frac{T_Z}{T_{S2}}\right)}^2$$

   $$\frac{M_{SA}}{M_S}=\frac{970^3}{1^3}\cdot \frac{1^2}{16^2}=\frac{970^3}{256}$$

   $970^3=9,13\cdot 10^8$ (dokładniej: $970^3=912673000$).

   $$\frac{M_{SA}}{M_S}=\frac{9,127\cdot 10^8}{256}\approx 3,565\cdot 10^6$$

   Odpowiedź: $\frac{M_{SA}}{M_S}\approx 3,6\cdot 10^6$ (Sgr A* ma masę ok. 3,6 miliona mas Słońca).

   ⚠ Typowa pułapka: - III prawo Keplera w postaci $T^2=\frac{4{\pi }^2}{GM}{a}^3$ — masa $M$ to masa ciała centralnego, NIE suma mas. - Półoś wielka $a=(r_P+r_A)/2$, NIE $r_A-r_P$ ani $r_A$ same. - W punktach peryhelium/aphelium $v\perp r$ — zachowanie momentu pędu daje proste $v_P{r}_P=v_A{r}_A$. - 1 au = średnia odległość Ziemia–Słońce. Stosunek $a_{S2}/a_Z$ jest BEZWYMIAROWY — można zostać w au i latach.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
5. Matura CKE · maj 2023 · zad. 11 6 pkt fizyka jądrowa, reakcja jądrowa, kopernik, izotopy nietrwałe, rozpady alfa, deficyt masy, energia wiązania, jednostka masy atomowej

   Pierwiastek o nazwie kopernik, oznaczony symbolem $\text{Cn}$, ma liczbę atomową $Z=112$. Izotop ${}^{277}\text{Cn}$ tego pierwiastka został po raz pierwszy wytworzony w wyniku bombardowania ołowianej tarczy jonami ${}^{70}\text{Zn}$.

   Kopernik ${}^{277}\text{Cn}$ jest izotopem nietrwałym.

   Uwaga: W zadaniach 11.1., 11.2., 11.3. skorzystaj z Wybranych wzorów i stałych fizykochemicznych na egzamin maturalny z biologii, chemii i fizyki.

   Zadanie 11.1. (0–1)

   Poniżej przedstawiono schemat reakcji jądrowej, w wyniku której powstają jądro izotopu ${}^{277}\text{Cn}$ oraz pewna cząstka.

   $${}_{82}^{208}\text{Pb}{+}_{30}^{70}\text{Zn}{\to }_{112}^{277}\text{Cn}+\dots$$

   Uzupełnij powyższy schemat reakcji jądrowej tak, aby powstało równanie reakcji jądrowej. Wpisz w wykropkowane miejsca właściwe liczby atomowe oraz symbol lub nazwę cząstki, która powstaje w tej reakcji.

   Zadanie 11.2. (0–2)

   W wyniku sześciu kolejnych rozpadów $\alpha$, z których pierwszy jest rozpadem jądra ${}^{277}\text{Cn}$, powstało jądro pewnego pierwiastka.

   Podaj nazwę lub symbol pierwiastka, którego jądro powstało w wyniku tych sześciu rozpadów. Zapisz obliczenia.

   Zadanie 11.3. (0–3)

   Masa jądra izotopu ${}^{277}\text{Cn}$ jest równa $m_{\text{Cn}}=460,138852\cdot 10^{-27}\text{kg}$.

   Oblicz najmniejszą energię, którą należałoby dostarczyć do jądra ${}^{277}\text{Cn}$, aby rozbić je na oddzielne (tzn. nieoddziałujące ze sobą) nukleony. Zapisz obliczenia. Wynik podaj zaokrąglony do trzech cyfr znaczących.

   Pokaż odpowiedź

   Zadanie 11.1.

   Bilans liczb masowych: $208+70=277+A_{\text{X}}$, więc $A_{\text{X}}=278-277=1$.

   Bilans liczb atomowych: $82+30=112+Z_{\text{X}}$, więc $Z_{\text{X}}=0$.

   Cząstka o $A=1$, $Z=0$ to neutron (${}_0^{1}n$).

   $${}_{82}^{208}\text{Pb}{+}_{30}^{70}\text{Zn}{\to }_{112}^{277}\text{Cn}{+}_0^{1}n$$

   Odpowiedź: brakująca cząstka to neutron ${}_0^{1}n$.

   Zadanie 11.2.

   Rozpad $\alpha$: ${}_Z^{A}X{\to }_{Z-2}^{A-4}Y{+}_2^4\text{He}$. Sześć rozpadów $\alpha$ to:

   • $\Delta A=-6\cdot 4=-24$
   • $\Delta Z=-6\cdot 2=-12$

   Powstałe jądro:

   $$A=277-24=253,Z=112-12=100$$

   Pierwiastek o $Z=100$ to ferm (Fm). Powstaje jądro ${}_{100}^{253}\text{Fm}$.

   Odpowiedź: ferm, ${}_{100}^{253}\text{Fm}$.

   Zadanie 11.3.

   Masy nukleonów (z tablic):

   • $m_p=1,6726\cdot 10^{-27}\text{kg}$
   • $m_n=1,6749\cdot 10^{-27}\text{kg}$

   Liczba protonów: $Z=112$, liczba neutronów: $N=277-112=165$.

   Suma mas nukleonów:

   $$m_{\text{nukl}}=112\cdot 1,6726\cdot 10^{-27}+165\cdot 1,6749\cdot 10^{-27}$$

   $$=(187,3312+276,3585)\cdot 10^{-27}=463,6897\cdot 10^{-27}\text{kg}$$

   Deficyt masy (energia wiązania):

   $$\Delta m=m_{\text{nukl}}-m_{\text{Cn}}=463,6897\cdot 10^{-27}-460,1389\cdot 10^{-27}$$

   $$\Delta m=3,5508\cdot 10^{-27}\text{kg}$$

   Energia wiązania (z $E=\Delta m\cdot c^2$):

   $$E_W=3,5508\cdot 10^{-27}\cdot (3\cdot 10^8{)}^2=3,5508\cdot 10^{-27}\cdot 9\cdot 10^{16}$$

   $$E_W=31,957\cdot 10^{-11}\text{J}=3,20\cdot 10^{-10}\text{J}$$

   Odpowiedź: $E_W\approx 3,20\cdot 10^{-10}\text{J}$ (równoważnie ok. $2,00\cdot 10^3\text{MeV}=2,00\text{GeV}$).

   ⚠ Typowa pułapka: - Bilans w równaniu jądrowym: zachowanie liczb masowych $A$ (suma) i liczb atomowych $Z$ (suma). - Rozpad $\alpha$: emisja jądra helu ${}_2^4\text{He}$, $\Delta A=-4$, $\Delta Z=-2$. - Energia wiązania ZAWSZE pozytywna — to energia do **rozbicia** jądra. Deficyt masy: nukleony związane mają mniejszą masę niż swobodne. - Wzór: $E=\Delta m{c}^2$, gdzie $\Delta m=Z{m}_p+N{m}_n-m_{\text{jądra}}$. - 1 eV = $1,602\cdot 10^{-19}\text{J}$. 1 u = $1,6605\cdot 10^{-27}\text{kg}$ ≈ 931,5 MeV/$c^2$. - Bez energii wiązania elektronów (zazwyczaj zaniedbywalna) — używamy mas jąder, nie atomów.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →