Szczególna teoria względności: czynnik Lorentza, energia relatywistyczna

3 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z fizyki (2023–2025). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

Matura CKE · maj 2025 · zad. 10 3 pkt szczególna teoria względności, energia relatywistyczna, energia kinetyczna

Cząstka porusza się z prędkością $v = \frac{1}{2} c$ , gdzie $c$ to prędkość światła w próżni. Jej energia kinetyczna wynosi $E_{k} = 79, 05 keV$ .

Zadanie 10. (0–3) Oblicz energię spoczynkową $E_{0}$ cząstki. Wynik podaj w keV z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

Pokaż odpowiedź

Współczynnik Lorentza dla $v = c /2$ :
$γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{2}{3} \approx 1, 1547$

Z definicji energii kinetycznej w teorii względności:
$E_{k} = (γ - 1) E_{0}$

Zatem:
$E_{0} = \frac{E _{k}}{γ - 1} = \frac{79 , 05 keV}{1 , 1547 - 1} = \frac{79 , 05}{0 , 1547} \approx 511 keV$

Wartość $E_{0} \approx 511 keV$ odpowiada energii spoczynkowej elektronu ( $m_{e} c^{2} = 511 keV$ ).

⚠ Typowa pułapka: Najczęstsze błędy: użycie klasycznego wzoru $E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$ (przy $v = c /2$ to daje znaczący błąd), pomyłka znaku $γ - 1$ vs $1 - γ$ , błąd w upraszczaniu pierwiastka ( $1 - 1/4 = 3 /2$ , nie $\frac{1}{2}$ ), zaokrąglanie $γ$ zbyt wcześnie.
Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
Matura CKE · maj 2024 · zad. 10 4 pkt kinematyka relatywistyczna, energia całkowita, energia spoczynkowa, czynnik Lorentza

Zadanie 10.

W akceleratorze elektron został rozpędzony do prędkości $v_{B} = 2 \cdot 1 0^{8} m/s$ . Energia spoczynkowa elektronu wynosi $E_{0} \approx 5, 11 \cdot 1 0^{5} eV$ (czyli $m_{e} c^{2} \approx 0, 511$ MeV). Prędkość światła $c = 3 \cdot 1 0^{8} m/s$ . Ładunek elementarny $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ .

Zadanie 10.1. (0–1)

Oblicz iloraz energii całkowitej elektronu $E_{B}$ do jego energii spoczynkowej $E_{0}$ . Wynik podaj zaokrąglony do drugiego miejsca po przecinku.

Zadanie 10.2. (0–3)

Aby rozpędzić elektron ze stanu spoczynku (punkt $A$ ) do prędkości $v_{B}$ , między punktami $A$ i $B$ zastosowano różnicę potencjałów $U_{A B}$ . Oblicz wartość tej różnicy potencjałów $U_{A B}$ . Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź

10.1. Czynnik Lorentza:

$γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} = \frac{1}{1 - ( 2/3 ) ^{2}} = \frac{1}{1 - 4/9} = \frac{1}{5/9} = \frac{3}{5} = \frac{3 5}{5}$

$γ \approx \frac{3 \cdot 2 , 236}{5} \approx 1, 342$

Energia całkowita $E = γm c^{2} = γ E_{0}$ , więc:

$\frac{E _{B}}{E _{0}} = γ \approx 1, 34$

$\frac{E _{B}}{E _{0}} \approx 1, 34$

10.2. Praca pola elektrycznego = energia kinetyczna elektronu po przyśpieszeniu:

$e \cdot U_{A B} = E_{kin} = E_{B} - E_{0} = (γ - 1) E_{0}$

$U_{A B} = \frac{( γ - 1 ) E _{0}}{e}$

W elektronowoltach (od razu): $U_{A B} [V] = (γ - 1) \cdot E_{0} [eV]$

$U_{A B} = (1, 342 - 1) \cdot 5, 11 \cdot 1 0^{5} = 0, 342 \cdot 5, 11 \cdot 1 0^{5} \approx 1, 748 \cdot 1 0^{5} V$

$U_{A B} \approx 1, 75 \cdot 1 0^{5} V = 175 kV$

Sprawdzenie nierelatywistyczne: gdybyśmy użyli $E_{kin} = \frac{1}{2} m v^{2}$ , dostalibyśmy:
$U = \frac{m v ^{2}}{2 e} = \frac{9 , 11 \cdot 1 0 ^{- 31} \cdot ( 2 \cdot 1 0 ^{8} ) ^{2}}{2 \cdot 1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 19}} \approx 1, 14 \cdot 1 0^{5} V = 114 kV$

Czyli błąd ~35%. To pokazuje, że dla $v = 2/3 \cdot c$ ABSOLUTNIE TRZEBA użyć wzorów relatywistycznych.

⚠ Typowa pułapka: Pułapka 10.1 — użycie wzoru nierelatywistycznego. Dla $v = 2 \cdot 1 0^{8}$ m/s $= 0, 667 c$ błąd jest już duży — efekty relatywistyczne są istotne (czynnik Lorentza $γ \neq = 1$ ). Pułapka 10.1 — pomylenie $E_{B}$ i $E_{kin}$ . **Energia całkowita** $E = γm c^{2}$ (suma spoczynkowej i kinetycznej). **Energia kinetyczna** $E_{kin} = (γ - 1) m c^{2}$ . Iloraz $E_{B} / E_{0} = γ$ , NIE $γ - 1$ . Pułapka 10.2 — użycie $e \cdot U = \frac{1}{2} m v^{2}$ (klasyczny wzór). To poprawne TYLKO dla $v ≪ c$ . Dla relatywistycznych: $e U = (γ - 1) m c^{2}$ . Pułapka — pomyłka jednostek. $E_{0} = 0, 511$ MeV $= 5, 11 \cdot 1 0^{5}$ eV. Skoro $e U = E_{kin}$ , a $E_{kin}$ wyrażone w eV daje od razu $U$ w V (definicja eV: 1 eV = energia uzyskana przez elektron pokonujący napięcie 1 V).
Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
Matura CKE · maj 2023 · zad. 10 5 pkt szczególna teoria względności, energia relatywistyczna, energia spoczynkowa, rozpędzanie elektronu w polu elektrycznym, czynnik Lorentza, jednostki energii eV

Elektron o prędkości początkowej równej zero został rozpędzony w polu elektrycznym o napięciu $U$ do prędkości o wartości $v$ . Energia kinetyczna, którą uzyskał elektron, była dwa razy większa od jego energii spoczynkowej.

Zadanie 10.1. (0–1)

Na którym wykresie (spośród A–D) prawidłowo przedstawiono zależność energii całkowitej $E$ (sumy energii kinetycznej i spoczynkowej) elektronu od jego prędkości? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wykresy A, B, C, D pokazują $E (v)$ z osią $v$ od 0 do $2 c$ i osią $E$ z wartościami $m c^{2}, 2 m c^{2}, 3 m c^{2}$ . Krzywa relatywistyczna ma asymptotę pionową przy $v \to c$ .

A. krzywa zaczyna od $m c^{2}$ przy $v = 0$ , łagodnie rośnie do $\infty$ przy $v = c$ , nie istnieje dla $v > c$ B. krzywa zaczyna od 0 przy $v = 0$ , gwałtownie rośnieC. krzywa zaczyna od $m c^{2}$ , jest stała aż do $v = c$ D. krzywa rośnie liniowo

Zadanie 10.2. (0–3)

Oblicz iloraz $\frac{v}{c}$ , gdzie $c$ jest wartością prędkości światła w próżni. Zapisz obliczenia. Wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.

Zadanie 10.3. (0–1)

Energia spoczynkowa elektronu jest równa (w zaokrągleniu) $E_{0} = 5, 1 \cdot 1 0^{5} eV$ .

Dokończ zdanie. Wpisz właściwą liczbę w wykropkowanym miejscu.

Napięcie $U$ pola elektrycznego, w którym został rozpędzony elektron, wynosi ……….. V.

Pokaż odpowiedź

Zadanie 10.1.

Energia całkowita relatywistyczna:

$E = γm c^{2} = \frac{m c ^{2}}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$

Dla $v = 0$ : $E = m c^{2}$ (energia spoczynkowa). Dla $v \to c$ : $E \to \infty$ (asymptota pionowa). Funkcja jest monotoniczne rosnąca, wypukła, z asymptotą przy $v = c$ , NIE istnieje dla $v > c$ .

Odpowiedź: A (wykres zaczynający się od $m c^{2}$ , rosnący do nieskończoności przy $v = c$ ).

Zadanie 10.2.

Energia kinetyczna relatywistyczna:

$E_{k} = (γ - 1) m c^{2}$

Z warunku $E_{k} = 2 m c^{2}$ :

$γ - 1 = 2 \Rightarrow γ = 3$

$\frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}} = 3$

$1 - v^{2} / c^{2} = \frac{1}{3}$

$1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}} = \frac{1}{9}$

$\frac{v ^{2}}{c ^{2}} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\frac{v}{c} = \frac{8}{9} = \frac{2 2}{3} \approx 0, 9428$

Odpowiedź: $\frac{v}{c} \approx 0, 94$ .

Zadanie 10.3.

Praca pola elektrycznego = energia kinetyczna elektronu:

$e U = E_{k} = 2 E_{0}$

$U = \frac{2 E _{0}}{e}$

W jednostkach eV/V: $\frac{E _{0}}{e} = 5, 1 \cdot 1 0^{5} V$ (bo 1 eV pracy odpowiada 1 V napięcia dla ładunku elektronu).

$U = 2 \cdot 5, 1 \cdot 1 0^{5} V = 1, 02 \cdot 1 0^{6} V$

Odpowiedź: $U = 1, 02 \cdot 1 0^{6} V \approx 1, 02 MV$ (lub równoważnie: $U = 1020000 V$ ).

⚠ Typowa pułapka: - **NIE używaj** klasycznego $E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$ przy prędkościach bliskich $c$ — dawałoby wynik $v > c$ , fizyczny absurd. - Energia kinetyczna relatywistyczna: $E_{k} = (γ - 1) m c^{2}$ , NIE $γm c^{2}$ (to całkowita). - Definicja eV: 1 eV = praca, jaką wykonuje pole o napięciu 1 V przy przeniesieniu ładunku elementarnego $e$ . Stąd $E [eV] = U [V]$ w bezpośredniej konwersji. - Energia spoczynkowa elektronu: $m_{e} c^{2} = 0, 511 MeV = 5, 11 \cdot 1 0^{5} eV$ . - Czynnik Lorentza dla $E_{k} = 2 E_{0}$ : $γ = 3$ , $v / c = 8/9$ .
Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →

Zadania treningowe — ułożone w stylu matury rozszerzonej (nie pochodzą z arkuszy CKE). Świetne do dodatkowych ćwiczeń, gdy przerobisz już oryginalne zadania.

Zadanie treningowe 3 pkt dylatacja czasu (mion)

Mion w spoczynku ma średni czas życia $τ_{0} = 2, 2 μ s$ . W akceleratorze mion porusza się z prędkością $v = 0, 98 c$ , gdzie $c = 3 \cdot 1 0^{8} \frac{m}{s}$ .

Oblicz średni czas życia tego mionu zmierzony w układzie laboratoryjnym.

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź:

$τ \approx 11, 1 μ s$ (około pięciokrotność czasu spoczynkowego).

Rozwiązanie:

W układzie laboratoryjnym mion żyje dłużej wskutek dylatacji czasu: $τ = γ τ_{0}, γ = \frac{1}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}} .$

Obliczamy czynnik Lorentza dla $v = 0, 98 c$ : $γ = \frac{1}{1 - 0 , 9 8 ^{2}} = \frac{1}{1 - 0 , 9604} = \frac{1}{0 , 0396} = \frac{1}{0 , 199} \approx 5, 03.$

Stąd czas życia w układzie laboratoryjnym: $τ = 5, 03 \cdot 2, 2 μ s \approx 11, 1 μ s .$

Mion żyje w laboratorium ponad pięć razy dłużej niż wynikałoby to z jego czasu spoczynkowego.

⚠ Typowa pułapka: Czas spoczynkowy $τ_{0}$ (czas własny) jest zawsze NAJKRÓTSZY. Czynnik $γ > 1$ , więc mnożymy (a nie dzielimy) $τ_{0}$ przez $γ$ .
Zadanie treningowe 2 pkt skrócenie długości

Rakieta ma długość spoczynkową (mierzoną w jej własnym układzie) $L_{0} = 100 m$ i porusza się względem obserwatora na Ziemi z prędkością $v = 0, 6 c$ .

Oblicz długość rakiety zmierzoną przez obserwatora na Ziemi.

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź:

$L = 80 m$ .

Rozwiązanie:

Obserwator, względem którego obiekt się porusza, mierzy długość skróconą: $L = \frac{L _{0}}{γ} = L_{0} 1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}} .$

Dla $v = 0, 6 c$ : $1 - 0, 6^{2} = 1 - 0, 36 = 0, 64 = 0, 8.$

Zatem: $L = 100 m \cdot 0, 8 = 80 m .$

Rakieta wydaje się obserwatorowi na Ziemi krótsza o $20 m$ .

⚠ Typowa pułapka: Skróceniu ulega tylko wymiar wzdłuż kierunku ruchu. Długość spoczynkowa $L_{0}$ jest zawsze NAJWIĘKSZA — obserwator w ruchu względem obiektu mierzy wartość mniejszą.
Zadanie treningowe 4 pkt energia relatywistyczna elektronu

Elektron o masie spoczynkowej $m = 9, 11 \cdot 1 0^{- 31} k g$ porusza się z prędkością $v = 0, 8 c$ , gdzie $c = 3 \cdot 1 0^{8} \frac{m}{s}$ .

a) Oblicz energię spoczynkową elektronu. b) Oblicz jego energię całkowitą i energię kinetyczną.

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź:

$E_{0} \approx 8, 2 \cdot 1 0^{- 14} J$ ; $E \approx 1, 37 \cdot 1 0^{- 13} J$ ; $E_{k} \approx 5, 5 \cdot 1 0^{- 14} J$ .

Rozwiązanie:

a) Energia spoczynkowa: $E_{0} = m c^{2} = 9, 11 \cdot 1 0^{- 31} \cdot (3 \cdot 1 0^{8})^{2} = 9, 11 \cdot 1 0^{- 31} \cdot 9 \cdot 1 0^{16} \approx 8, 2 \cdot 1 0^{- 14} J .$

b) Czynnik Lorentza dla $v = 0, 8 c$ : $γ = \frac{1}{1 - 0 , 8 ^{2}} = \frac{1}{0 , 36} = \frac{1}{0 , 6} \approx 1, 667.$

Energia całkowita: $E = γ m c^{2} = 1, 667 \cdot 8, 2 \cdot 1 0^{- 14} J \approx 1, 37 \cdot 1 0^{- 13} J .$

Energia kinetyczna to nadwyżka nad energią spoczynkową: $E_{k} = E - E_{0} = (γ - 1) m c^{2} = 0, 667 \cdot 8, 2 \cdot 1 0^{- 14} J \approx 5, 5 \cdot 1 0^{- 14} J .$

(W jednostkach atomowych: $E_{0} \approx 0, 51 M e V$ , $E_{k} \approx 0, 34 M e V$ .)

⚠ Typowa pułapka: Relatywistyczna energia kinetyczna to $E_{k} = (γ - 1) m c^{2}$ , a NIE klasyczne $\frac{1}{2} m v^{2}$ . Wzór klasyczny dałby tu wynik zaniżony.
Zadanie treningowe 3 pkt pęd relatywistyczny protonu

Proton o masie spoczynkowej $m = 1, 67 \cdot 1 0^{- 27} k g$ porusza się z prędkością $v = 0, 9 c$ , gdzie $c = 3 \cdot 1 0^{8} \frac{m}{s}$ .

Oblicz pęd relatywistyczny tego protonu.

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź:

$p \approx 1, 03 \cdot 1 0^{- 18} \frac{k g \cdot m}{s}$ .

Rozwiązanie:

Pęd relatywistyczny: $p = γ m v, γ = \frac{1}{1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}}} .$

Czynnik Lorentza dla $v = 0, 9 c$ : $γ = \frac{1}{1 - 0 , 9 ^{2}} = \frac{1}{0 , 19} = \frac{1}{0 , 436} \approx 2, 29.$

Prędkość: $v = 0, 9 \cdot 3 \cdot 1 0^{8} = 2, 7 \cdot 1 0^{8} \frac{m}{s}$ .

Pęd: $p = 2, 29 \cdot 1, 67 \cdot 1 0^{- 27} \cdot 2, 7 \cdot 1 0^{8} \approx 1, 03 \cdot 1 0^{- 18} \frac{k g \cdot m}{s} .$

⚠ Typowa pułapka: W pędzie relatywistycznym mnożymy przez $γ$ : $p = γm v$ . Pominięcie $γ$ (wzór klasyczny $p = m v$ ) zaniża wynik ponad dwukrotnie dla $v = 0, 9 c$ .

Szczególna teoria względności: czynnik Lorentza, energia relatywistyczna

Zadanie 10.

Zadanie 10.1. (0–1)

Zadanie 10.2. (0–3)

Zadanie 10.1. (0–1)

Zadanie 10.2. (0–3)

Zadanie 10.3. (0–1)

Zadanie 10.1.

Zadanie 10.2.

Zadanie 10.3.

Inne działy — fizyka rozszerzona