Trygonometria: równania, tożsamości, twierdzenia sinusów i cosinusów

6 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z matematyki (2023–2025). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

1. Matura CKE · maj 2025 · zad. 3 3 pkt planimetria, trójkąt równoboczny, twierdzenie sinusów

   W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$. Stosunek pola trójkąta $ABD$ do pola trójkąta $ADC$ jest równy $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

   Zadanie 3. (0–3)

   Oblicz miarę kąta $DAC$. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $\angle DAC=45°$

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd to mylenie sin(α) z cos(α) we wzorze na pole (P = ½ab sin γ — sinus, nie cosinus). Druga pułapka: stosunek pól trójkątów o wspólnej wysokości to stosunek PODSTAW — to klucz pozwalający szybko dojść do równania.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
2. Matura CKE · maj 2025 · zad. 9 5 pkt równanie trygonometryczne, wzór na cosinus podwojonego kąta

   Zadanie 9. (0–5)

   Rozwiąż równanie

   $$3{\cos }^{2}x+\sqrt{3}\sin (2x)-3{\sin }^{2}x=0$$

   w przedziale $[-\pi ,\pi ]$. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $x\in \left\{-\frac{2\pi }{3},-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right\}$

   ⚠ Typowa pułapka: Najszybsza droga to dostrzeżenie, że $3{\cos }^{2}x-3{\sin }^{2}x=3({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=3\cos (2x)$. Bez tego dostajesz dłuższe rozwiązanie. Druga pułapka: pomylenie znaków przy szukaniu rozwiązań $\tan (2x)=-\sqrt{3}$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
3. Matura CKE · maj 2024 · zad. 8 4 pkt planimetria, twierdzenia o trójkątach, trygonometria

   Dany jest trójkąt $ABC$, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta $ABC$ jest dwa razy większa od miary kąta $BAC$.

   Zadanie 8. (0–4)

   Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek

   $$|AC{|}^2=|BC{|}^2+|AB|\cdot |BC|$$

   Pokaż odpowiedź

   Dowód — patrz Sposób I (trygonometryczny) lub Sposób II (geometria, przez dwusieczną).

   ⚠ Typowa pułapka: CKE w uwadze: jeśli rozumowanie geometryczne przeprowadzasz w JEDNYM przypadku (np. tylko gdy spodek wysokości leży wewnątrz boku AB), bez stwierdzenia, że drugi przypadek jest analogiczny — maksimum 3 pkt zamiast 4. W sposobie trygonometrycznym takiego problemu nie ma.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
4. Matura CKE · maj 2024 · zad. 10 5 pkt trygonometria, równania trygonometryczne, wzory

   Rozwiąż równanie $\sin (4x)-\sin (2x)=4{\cos }^{2}x-3$ w zbiorze $[0,2\pi ]$.

   Pokaż odpowiedź

   x ∈ {π/6, π/4, 5π/6, 7π/6, 5π/4, 11π/6}

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd to próba rozwijania sin(4x) wzorem podwojonym dwa razy zamiast zauważenia, że sin(4x) = 2 sin(2x) cos(2x) (czyli sin podwojonego dla argumentu 2x). Drugi błąd: niezauważenie, że 4cos²x − 3 = 2cos(2x) − 1 (mocna redukcja).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
5. Matura CKE · maj 2023 · zad. 6 3 pkt równanie trygonometryczne, wzory na sumę

   Zadanie 6. (0-3)

   Rozwiąż równanie

   $$4\sin (4x)\cos (6x)=2\sin (10x)+1$$

   Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$ lub $x=\frac{7\pi }{12}+k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$.

   Krok kluczowy: $2\sin A\cos B=\sin (A+B)+\sin (A-B)$, więc $4\sin (4x)\cos (6x)=2\sin (10x)-2\sin (2x)$. Po skróceniu: $\sin (2x)=-\frac{1}{2}$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: pominięcie wzoru $2\sin A\cos B$ i próba podstawiania bezpośrednia. Klucz: zauważyć że $\sin (10x)$ pojawia się po obu stronach i można je skrócić po zastosowaniu wzoru.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
6. Matura CKE · maj 2023 · zad. 8 4 pkt czworokąt opisany na okręgu, twierdzenie sinusów

   Zadanie 8. (0-4)

   Czworokąt $ABCD$, w którym $|BC|=4$ i $|CD|=5$, jest opisany na okręgu. Przekątna $AC$ tego czworokąta tworzy z bokiem $BC$ kąt o mierze $60°$, natomiast z bokiem $AB$ — kąt ostry, którego sinus jest równy $\frac{1}{4}$.

   Oblicz obwód czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   Obwód: $16\sqrt{3}+10$

   Z twierdzenia sinusów w $△ABC$: $AB=\frac{4\sin 60°}{\sin \alpha }=\frac{4\cdot \sqrt{3}/2}{1/4}=8\sqrt{3}$. Z własności czworokąta opisanego: $AD=AB+CD-BC=8\sqrt{3}+5-4=8\sqrt{3}+1$. Obwód = $AB+BC+CD+DA=8\sqrt{3}+4+5+8\sqrt{3}+1=16\sqrt{3}+10$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: pomylenie czworokąta **opisanego** (boki styczne do okręgu wewnętrznego) z **wpisanym** (wierzchołki na okręgu). Własności są różne! Opisany: $AB+CD=BC+AD$. Wpisany: $\angle A+\angle C=180°$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →