Planimetria: okręgi, trójkąty, czworokąty

10 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z matematyki (2023–2025). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

1. Matura CKE · maj 2025 · zad. 3 3 pkt planimetria, trójkąt równoboczny, twierdzenie sinusów

   W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$. Stosunek pola trójkąta $ABD$ do pola trójkąta $ADC$ jest równy $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

   Zadanie 3. (0–3)

   Oblicz miarę kąta $DAC$. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $\angle DAC=45°$

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd to mylenie sin(α) z cos(α) we wzorze na pole (P = ½ab sin γ — sinus, nie cosinus). Druga pułapka: stosunek pól trójkątów o wspólnej wysokości to stosunek PODSTAW — to klucz pozwalający szybko dojść do równania.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
2. Matura CKE · maj 2025 · zad. 7 4 pkt planimetria, trapez, linia środkowa

   W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ punkt $E$ jest środkiem ramienia $AD$, a punkt $F$ jest środkiem ramienia $BC$ trapezu. Stosunek pola trapezu $EFCD$ do pola trapezu $ABFE$ jest równy $\frac{1}{2}$.

   Zadanie 7. (0–4)

   Wykaż, że $\frac{|CD|}{|AB|}=\frac{1}{5}$.

   Pokaż odpowiedź

   Dowód: $\frac{|CD|}{|AB|}=\frac{1}{5}$ ✓ — patrz pełny wywód poniżej.

   ⚠ Typowa pułapka: Najgorszy błąd to pomijanie LINII ŚRODKOWEJ trapezu — odcinka EF, który ma długość średniej arytmetycznej obu podstaw: |EF| = (|AB| + |CD|)/2. To kluczowe twierdzenie dla tego dowodu.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
3. Matura CKE · maj 2025 · zad. 8 5 pkt geometria analityczna, okręgi, wektor

   W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są okręgi ${\mathcal{O}}_1$ oraz ${\mathcal{O}}_2$ o równaniach:

   • ${\mathcal{O}}_1$: $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=5$
   • ${\mathcal{O}}_2$: $(x-2{)}^2+(y-4{)}^2=45$.

   Te okręgi przecinają się w punktach $A$ oraz $B$. Punkt $A$ ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt $M$ spełnia warunek $\overrightarrow{AM}=-2\cdot \overrightarrow{BM}$.

   Zadanie 8. (0–5)

   Oblicz współrzędne punktów $A$, $B$ oraz $M$. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $A=\left(\frac{16}{5},-\frac{13}{5}\right)$, $B=(-1,-2)$, $M=\left(\frac{2}{5},-\frac{11}{5}\right)$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd to pomylenie wektora $\overrightarrow{AM}$ z $\overrightarrow{MA}$ (zwrot przeciwny). $\overrightarrow{AM}=M-A$, NIE $A-M$. Drugi błąd: nie sprawdzić "która pierwsza współrzędna dodatnia" — jest A albo B w zależności od interpretacji.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
4. Matura CKE · maj 2024 · zad. 8 4 pkt planimetria, twierdzenia o trójkątach, trygonometria

   Dany jest trójkąt $ABC$, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta $ABC$ jest dwa razy większa od miary kąta $BAC$.

   Zadanie 8. (0–4)

   Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek

   $$|AC{|}^2=|BC{|}^2+|AB|\cdot |BC|$$

   Pokaż odpowiedź

   Dowód — patrz Sposób I (trygonometryczny) lub Sposób II (geometria, przez dwusieczną).

   ⚠ Typowa pułapka: CKE w uwadze: jeśli rozumowanie geometryczne przeprowadzasz w JEDNYM przypadku (np. tylko gdy spodek wysokości leży wewnątrz boku AB), bez stwierdzenia, że drugi przypadek jest analogiczny — maksimum 3 pkt zamiast 4. W sposobie trygonometrycznym takiego problemu nie ma.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
5. Matura CKE · maj 2024 · zad. 9 4 pkt planimetria, środek ciężkości trójkąta, pola

   Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $a$. Punkt $E$ jest środkiem boku $CD$. Przekątna $BD$ dzieli trójkąt $ACE$ na dwie figury: $AGF$ oraz $CEFG$ (zobacz rysunek).

   Zadanie 9. (0–4)

   Oblicz pola figur $AGF$ oraz $CEFG$. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   P(AGF) = a²/12 | P(CEFG) = a²/6

   ⚠ Typowa pułapka: CKE wprost: jeśli przyjmiesz, że F dzieli AE w stosunku 1:1 lub 2:1 (np. "F to środek AE") — 0 punktów. F jest środkiem ciężkości trójkąta ACD, więc dzieli mediany w stosunku 2:1, ale od WIERZCHOŁKA, nie od środka boku.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
6. Matura CKE · maj 2024 · zad. 11 5 pkt geometria analityczna, okrąg, styczne, deltoid

   W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ środek $S$ okręgu o promieniu $\sqrt{5}$ leży na prostej o równaniu $y=x+1$. Przez punkt $A=(1,2)$, którego odległość od punktu $S$ jest większa od $\sqrt{5}$, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach — odpowiednio — $B$ i $C$. Pole czworokąta $ABSC$ jest równe $15$.

   Zadanie 11. (0–5)

   Oblicz współrzędne punktu $S$. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $S=(6,7)$ lub $S=(-4,-3)$ — dwa rozwiązania.

   ⚠ Typowa pułapka: CKE wprost: jeśli otrzymasz więcej niż dwa punkty $S$ (np. zapomnisz, że to musi być na prostej $y=x+1$ i sprawdzisz wszystkie punkty na okręgu wokół $A$) — maksimum 4 pkt. Druga pułapka: pomiń współczynnik $\frac{1}{2}$ we wzorze na pole trójkąta i wszystko się rozjeżdża.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
7. Matura CKE · maj 2023 · zad. 5 3 pkt trójkąt prostokątny 30-60-90, geometria analityczna

   Zadanie 5. (0-3)

   Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\angle ABC|=90°$ oraz $|\angle CAB|=60°$. Punkty $K$ i $L$ leżą na bokach — odpowiednio — $AB$ i $BC$ tak, że $|BK|=|BL|=1$ (zobacz rysunek). Odcinek $KL$ przecina wysokość $BD$ tego trójkąta w punkcie $N$, a ponadto $|AD|=2$.

   Wykaż, że $|ND|=\sqrt{3}+1$.

   Pokaż odpowiedź

   Rozwiązanie w układzie współrzędnych: $B=(0,0)$, $A=(0,4)$, $C=(4\sqrt{3},0)$. Wtedy $K=(0,1)$, $L=(1,0)$, $D=(\sqrt{3},3)$, $N=\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2},\frac{3-\sqrt{3}}{2}\right)$.

   $|ND{|}^2={\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)}^2(1+3)=(\sqrt{3}+1{)}^2$, więc $|ND|=\sqrt{3}+1$. ∎

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: pomylenie boków w trójkącie 30-60-90. Stosunki: naprzeciw 30° → naprzeciw 60° → naprzeciw 90° to $1:\sqrt{3}:2$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
8. Matura CKE · maj 2023 · zad. 8 4 pkt czworokąt opisany na okręgu, twierdzenie sinusów

   Zadanie 8. (0-4)

   Czworokąt $ABCD$, w którym $|BC|=4$ i $|CD|=5$, jest opisany na okręgu. Przekątna $AC$ tego czworokąta tworzy z bokiem $BC$ kąt o mierze $60°$, natomiast z bokiem $AB$ — kąt ostry, którego sinus jest równy $\frac{1}{4}$.

   Oblicz obwód czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   Obwód: $16\sqrt{3}+10$

   Z twierdzenia sinusów w $△ABC$: $AB=\frac{4\sin 60°}{\sin \alpha }=\frac{4\cdot \sqrt{3}/2}{1/4}=8\sqrt{3}$. Z własności czworokąta opisanego: $AD=AB+CD-BC=8\sqrt{3}+5-4=8\sqrt{3}+1$. Obwód = $AB+BC+CD+DA=8\sqrt{3}+4+5+8\sqrt{3}+1=16\sqrt{3}+10$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: pomylenie czworokąta **opisanego** (boki styczne do okręgu wewnętrznego) z **wpisanym** (wierzchołki na okręgu). Własności są różne! Opisany: $AB+CD=BC+AD$. Wpisany: $\angle A+\angle C=180°$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
9. Matura CKE · maj 2023 · zad. 10 4 pkt szereg geometryczny, geometria, twierdzenie Pitagorasa

   Zadanie 10. (0-4)

   Określamy kwadraty $K_1,K_2,K_3,\dots$ następująco:

   • $K_1$ jest kwadratem o boku długości $a$
   • $K_2$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_1$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$
   • $K_3$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_2$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$
   • i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej $n\ge 2$, $K_n$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{n-1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$.

   Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

   Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   Suma: $S=\frac{8a(4+\sqrt{10})}{3}$

   Bok $K_2$ z Pitagorasa: $\sqrt{(a/4{)}^2+(3a/4{)}^2}=\frac{a\sqrt{10}}{4}$. Iloraz $q=\frac{\sqrt{10}}{4}$. Suma szeregu geom.: $S=\frac{4a}{1-\sqrt{10}/4}=\frac{16a}{4-\sqrt{10}}=\frac{8a(4+\sqrt{10})}{3}$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: liczenie pól zamiast obwodów. Iloraz pól = $q_{pole}^2={\left(\frac{\sqrt{10}}{4}\right)}^2=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$. Treść mówi o **obwodach**.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
10. Matura CKE · maj 2023 · zad. 13 6 pkt geometria analityczna, okrąg, kąt wpisany, parabola

    Zadanie 13. (0-6)

    W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta $l$ o równaniu $x-y-2=0$ przecina parabolę o równaniu $y=4x^2-7x+1$ w punktach $A$ oraz $B$. Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$. Punkt $C$ leży na okręgu $\mathcal{O}$ nad prostą $l$, a kąt $BAC$ jest ostry i ma miarę $\alpha$ taką, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{3}$ (zobacz rysunek).

    Oblicz współrzędne punktu $C$. Zapisz obliczenia.

    Pokaż odpowiedź

    $C=\left(\frac{11}{10},-\frac{3}{10}\right)$

    Z układu prostej i paraboli: $A=(\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$, $B=(\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$. Z tw. Talesa (AB średnica) → $\angle ACB=90°$. W trójkącie prostokątnym ACB: $|AB|=\sqrt{2}$, $\tan \alpha =BC/AC=1/3$ → $AC=\frac{3}{\sqrt{5}}$, $BC=\frac{1}{\sqrt{5}}$. Wektory: $\widehat{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$, prostopadła w górę $=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1)$. $C=A+AC\cos \alpha \cdot \widehat{AB}+AC\sin \alpha \cdot \hat{n}$ daje $C=(1,1;-0,3)$.

    ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: pomylenie kierunku „nad prostą" — kąt $\alpha$ ma dwa możliwe położenia $C$ (po obu stronach AB). Z rysunku/treści wynika, że $C$ leży po stronie $y$ większej (nad $l$).

    Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →