Geometria analityczna

6 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z matematyki (2023–2025). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

1. Matura CKE · maj 2025 · zad. 8 5 pkt geometria analityczna, okręgi, wektor

   W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ dane są okręgi ${\mathcal{O}}_1$ oraz ${\mathcal{O}}_2$ o równaniach:

   • ${\mathcal{O}}_1$: $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=5$
   • ${\mathcal{O}}_2$: $(x-2{)}^2+(y-4{)}^2=45$.

   Te okręgi przecinają się w punktach $A$ oraz $B$. Punkt $A$ ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt $M$ spełnia warunek $\overrightarrow{AM}=-2\cdot \overrightarrow{BM}$.

   Zadanie 8. (0–5)

   Oblicz współrzędne punktów $A$, $B$ oraz $M$. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $A=\left(\frac{16}{5},-\frac{13}{5}\right)$, $B=(-1,-2)$, $M=\left(\frac{2}{5},-\frac{11}{5}\right)$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd to pomylenie wektora $\overrightarrow{AM}$ z $\overrightarrow{MA}$ (zwrot przeciwny). $\overrightarrow{AM}=M-A$, NIE $A-M$. Drugi błąd: nie sprawdzić "która pierwsza współrzędna dodatnia" — jest A albo B w zależności od interpretacji.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
2. Matura CKE · maj 2024 · zad. 11 5 pkt geometria analityczna, okrąg, styczne, deltoid

   W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ środek $S$ okręgu o promieniu $\sqrt{5}$ leży na prostej o równaniu $y=x+1$. Przez punkt $A=(1,2)$, którego odległość od punktu $S$ jest większa od $\sqrt{5}$, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach — odpowiednio — $B$ i $C$. Pole czworokąta $ABSC$ jest równe $15$.

   Zadanie 11. (0–5)

   Oblicz współrzędne punktu $S$. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $S=(6,7)$ lub $S=(-4,-3)$ — dwa rozwiązania.

   ⚠ Typowa pułapka: CKE wprost: jeśli otrzymasz więcej niż dwa punkty $S$ (np. zapomnisz, że to musi być na prostej $y=x+1$ i sprawdzisz wszystkie punkty na okręgu wokół $A$) — maksimum 4 pkt. Druga pułapka: pomiń współczynnik $\frac{1}{2}$ we wzorze na pole trójkąta i wszystko się rozjeżdża.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
3. Matura CKE · maj 2023 · zad. 5 3 pkt trójkąt prostokątny 30-60-90, geometria analityczna

   Zadanie 5. (0-3)

   Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\angle ABC|=90°$ oraz $|\angle CAB|=60°$. Punkty $K$ i $L$ leżą na bokach — odpowiednio — $AB$ i $BC$ tak, że $|BK|=|BL|=1$ (zobacz rysunek). Odcinek $KL$ przecina wysokość $BD$ tego trójkąta w punkcie $N$, a ponadto $|AD|=2$.

   Wykaż, że $|ND|=\sqrt{3}+1$.

   Pokaż odpowiedź

   Rozwiązanie w układzie współrzędnych: $B=(0,0)$, $A=(0,4)$, $C=(4\sqrt{3},0)$. Wtedy $K=(0,1)$, $L=(1,0)$, $D=(\sqrt{3},3)$, $N=\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2},\frac{3-\sqrt{3}}{2}\right)$.

   $|ND{|}^2={\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)}^2(1+3)=(\sqrt{3}+1{)}^2$, więc $|ND|=\sqrt{3}+1$. ∎

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: pomylenie boków w trójkącie 30-60-90. Stosunki: naprzeciw 30° → naprzeciw 60° → naprzeciw 90° to $1:\sqrt{3}:2$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
4. Matura CKE · maj 2023 · zad. 7 4 pkt stereometria, sześcian, geometria analityczna 3D

   Zadanie 7. (0-4)

   Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $6$. Punkt $S$ jest punktem przecięcia przekątnych $AH$ i $DE$ ściany bocznej $ADHE$ (zobacz rysunek).

   Oblicz wysokość trójkąta $SBH$ poprowadzoną z punktu $S$ na bok $BH$ tego trójkąta. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $h=\sqrt{6}$

   Współrzędne: $S=(0,3,3)$, $B=(6,0,0)$, $H=(0,6,6)$. Pole $△SBH=9\sqrt{2}$ (z iloczynu wektorowego). $|BH|=6\sqrt{3}$. Stąd $h=\frac{2\cdot 9\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}=\sqrt{6}$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: założenie, że trójkąt $SBH$ jest prostokątny lub równoramienny. Sprawdź boki: $|SB|=3\sqrt{6}$, $|SH|=3\sqrt{2}$, $|BH|=6\sqrt{3}$ — to **trójkąt różnoboczny**.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
5. Matura CKE · maj 2023 · zad. 9 4 pkt nierówność z modułami, suma odległości

   Zadanie 9. (0-4)

   Rozwiąż nierówność

   $$\sqrt{x^2+4x+4}<\frac{25}{3}-\sqrt{x^2-6x+9}$$

   Zapisz obliczenia.

   Wskazówka: skorzystaj z tego, że $\sqrt{a^2}=|a|$ dla każdej liczby rzeczywistej $a$.

   Pokaż odpowiedź

   $x\in \left(-\frac{11}{3},\frac{14}{3}\right)$.

   Zauważ: $\sqrt{x^2+4x+4}=|x+2|$, $\sqrt{x^2-6x+9}=|x-3|$. Nierówność: $|x+2|+|x-3|<\frac{25}{3}$. Rozpatruje 3 przypadki znaków modułów.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: $\sqrt{x^2}=x$ zamiast $|x|$. Pamiętaj — pierwiastek kwadratowy z liczby jest **zawsze nieujemny**, więc $\sqrt{a^2}=|a|$, nie $a$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
6. Matura CKE · maj 2023 · zad. 13 6 pkt geometria analityczna, okrąg, kąt wpisany, parabola

   Zadanie 13. (0-6)

   W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta $l$ o równaniu $x-y-2=0$ przecina parabolę o równaniu $y=4x^2-7x+1$ w punktach $A$ oraz $B$. Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$. Punkt $C$ leży na okręgu $\mathcal{O}$ nad prostą $l$, a kąt $BAC$ jest ostry i ma miarę $\alpha$ taką, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{3}$ (zobacz rysunek).

   Oblicz współrzędne punktu $C$. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $C=\left(\frac{11}{10},-\frac{3}{10}\right)$

   Z układu prostej i paraboli: $A=(\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$, $B=(\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$. Z tw. Talesa (AB średnica) → $\angle ACB=90°$. W trójkącie prostokątnym ACB: $|AB|=\sqrt{2}$, $\tan \alpha =BC/AC=1/3$ → $AC=\frac{3}{\sqrt{5}}$, $BC=\frac{1}{\sqrt{5}}$. Wektory: $\widehat{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$, prostopadła w górę $=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1)$. $C=A+AC\cos \alpha \cdot \widehat{AB}+AC\sin \alpha \cdot \hat{n}$ daje $C=(1,1;-0,3)$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: pomylenie kierunku „nad prostą" — kąt $\alpha$ ma dwa możliwe położenia $C$ (po obu stronach AB). Z rysunku/treści wynika, że $C$ leży po stronie $y$ większej (nad $l$).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →