Równania i nierówności, w tym z parametrem i wartością bezwzględną

11 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z matematyki (2023–2025). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

1. Matura CKE · maj 2025 · zad. 2 3 pkt nierówności, wzory skróconego mnożenia, rozkład na czynniki

   Zadanie 2. (0–3)

   Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b\ne \frac{1}{2}a$, prawdziwa jest nierówność

   $$(a+2b{)}^3>8a^{2}b+16a{b}^2$$

   Pokaż odpowiedź

   Dowód — patrz Sposób I (rozkład $(a-2b{)}^2(a+2b)>0$).

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: rozwiązać "ostrą" nierówność $\ge$ zamiast $>$, czyli zapomnieć, że warunek $b\ne a/2$ wymusza ostry znak. Drugi błąd: zła ekspansja $(a+2b{)}^3$ (najczęściej człon $12a{b}^2$ pomylony z $8a{b}^2$).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
2. Matura CKE · maj 2025 · zad. 5 4 pkt nierówności z wartością bezwzględną

   Zadanie 5. (0–4)

   Rozwiąż nierówność

   $$|x-2|-2\cdot |x+3|<-2$$

   Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $x\in (-\infty ,-10)\cup \left(-\frac{2}{3},+\infty \right)$

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: rozważenie tylko dwóch przypadków zamiast trzech. Z dwoma modułami |x-2| i |x+3| mamy DWA punkty zerowania: x=2 i x=-3, czyli TRZY przedziały na osi: x<-3, -3≤x<2, x≥2. Każdy wymaga osobnego rozważenia znaków modułów.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
3. Matura CKE · maj 2025 · zad. 9 5 pkt równanie trygonometryczne, wzór na cosinus podwojonego kąta

   Zadanie 9. (0–5)

   Rozwiąż równanie

   $$3{\cos }^{2}x+\sqrt{3}\sin (2x)-3{\sin }^{2}x=0$$

   w przedziale $[-\pi ,\pi ]$. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $x\in \left\{-\frac{2\pi }{3},-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{6}\right\}$

   ⚠ Typowa pułapka: Najszybsza droga to dostrzeżenie, że $3{\cos }^{2}x-3{\sin }^{2}x=3({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=3\cos (2x)$. Bez tego dostajesz dłuższe rozwiązanie. Druga pułapka: pomylenie znaków przy szukaniu rozwiązań $\tan (2x)=-\sqrt{3}$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
4. Matura CKE · maj 2025 · zad. 11 6 pkt funkcja kwadratowa z parametrem, wzory Viète'a

   Funkcja $f$ jest określona wzorem

   $$f(x)=(2-m)x^2-2(2m+1)x+m+8$$

   dla każdej liczby rzeczywistej $x$, gdzie $m$ jest liczbą rzeczywistą różną od $2$.

   Zadanie 11. (0–6)

   Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe $x_1$ oraz $x_2$ tego samego znaku, które spełniają warunek

   $$(x_1-x_2{)}^2\le 180$$

   Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $m\in (-8,-3)\cup (1,\frac{3}{2}⟩$

   ⚠ Typowa pułapka: Trzy warunki, każdy daje przedział. Klucz: precyzyjnie POŁĄCZ wszystkie trzy. Pułapka 1: pominięcie $\Delta >0$ (dwa różne miejsca zerowe → ostry znak). Pułapka 2: pomyłka znaku przy $(x_1-x_2{)}^2\le 180$ — to po przekształceniu daje $8m^2-38m+39\ge 0$, NIE $\le 0$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
5. Matura CKE · maj 2024 · zad. 7 4 pkt ciągi arytmetyczne i geometryczne, układ równań

   Trzywyrazowy ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa $105$. Liczby $x$, $y$ oraz $z$ są — odpowiednio — pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

   Zadanie 7. (0–4)

   Oblicz $x$, $y$ oraz $z$. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   x = 5, y = 20, z = 80 (iloraz q = 4, różnica r = 15)

   ⚠ Typowa pułapka: CKE wprost: jeśli dzielisz obie strony równania przez wyrażenie z niewiadomą (np. (x+r)² = x(x+5r) sprowadzone do r² = 3rx i podzielone przez r BEZ założenia r ≠ 0) — maksimum 3 pkt. Trzeba osobno rozpatrzyć przypadek r = 0 (i odrzucić go, bo ciąg ma być ROSNĄCY).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
6. Matura CKE · maj 2024 · zad. 10 5 pkt trygonometria, równania trygonometryczne, wzory

   Rozwiąż równanie $\sin (4x)-\sin (2x)=4{\cos }^{2}x-3$ w zbiorze $[0,2\pi ]$.

   Pokaż odpowiedź

   x ∈ {π/6, π/4, 5π/6, 7π/6, 5π/4, 11π/6}

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd to próba rozwijania sin(4x) wzorem podwojonym dwa razy zamiast zauważenia, że sin(4x) = 2 sin(2x) cos(2x) (czyli sin podwojonego dla argumentu 2x). Drugi błąd: niezauważenie, że 4cos²x − 3 = 2cos(2x) − 1 (mocna redukcja).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
7. Matura CKE · maj 2024 · zad. 12 6 pkt równanie kwadratowe z parametrem, wzory Viète'a

   Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2-(3m+1)\cdot x+2m^2+m+1=0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1,x_2$ spełniające warunek $x_1^3+x_2^3+3\cdot x_1\cdot x_2\cdot (x_1+x_2-3)\le 3m-7$.

   Pokaż odpowiedź

   $m\in (-\infty ,-3)$

   ⚠ Typowa pułapka: Najgorszy błąd: $\Delta \ge 0$ zamiast $\Delta >0$. Treść mówi „dwa **różne** rozwiązania" → ostry znak. CKE wprost: $\Delta \ge 0$ daje 0 punktów za etap I. Drugi błąd: tożsamość $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2{)}^3$ (brak członu $-3x_1{x}_2(x_1+x_2)$).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
8. Matura CKE · maj 2023 · zad. 4 3 pkt dowód, grupowanie wyrazów, nierówność z kwadratem

   Zadanie 4. (0-3)

   Liczby rzeczywiste $x$ oraz $y$ spełniają jednocześnie równanie $x+y=4$ i nierówność $x^3-x^{2}y\le x{y}^2-y^3$.

   Wykaż, że $x=2$ oraz $y=2$.

   Pokaż odpowiedź

   Przekształcamy nierówność: $x^3-x^{2}y-x{y}^2+y^3\le 0$ → $(x-y{)}^2(x+y)\le 0$. Ponieważ $x+y=4>0$, musi być $(x-y{)}^2\le 0$, więc $(x-y{)}^2=0$ czyli $x=y$. Z $x+y=4$ wynika $x=y=2$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: brak grupowania wyrazów. Drugi błąd: pominięcie wniosku że $x+y>0$ — bez tego $(x-y{)}^2(x+y)\le 0$ nie wymusza równości.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
9. Matura CKE · maj 2023 · zad. 6 3 pkt równanie trygonometryczne, wzory na sumę

   Zadanie 6. (0-3)

   Rozwiąż równanie

   $$4\sin (4x)\cos (6x)=2\sin (10x)+1$$

   Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$ lub $x=\frac{7\pi }{12}+k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$.

   Krok kluczowy: $2\sin A\cos B=\sin (A+B)+\sin (A-B)$, więc $4\sin (4x)\cos (6x)=2\sin (10x)-2\sin (2x)$. Po skróceniu: $\sin (2x)=-\frac{1}{2}$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: pominięcie wzoru $2\sin A\cos B$ i próba podstawiania bezpośrednia. Klucz: zauważyć że $\sin (10x)$ pojawia się po obu stronach i można je skrócić po zastosowaniu wzoru.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
10. Matura CKE · maj 2023 · zad. 9 4 pkt nierówność z modułami, suma odległości

    Zadanie 9. (0-4)

    Rozwiąż nierówność

    $$\sqrt{x^2+4x+4}<\frac{25}{3}-\sqrt{x^2-6x+9}$$

    Zapisz obliczenia.

    Wskazówka: skorzystaj z tego, że $\sqrt{a^2}=|a|$ dla każdej liczby rzeczywistej $a$.

    Pokaż odpowiedź

    $x\in \left(-\frac{11}{3},\frac{14}{3}\right)$.

    Zauważ: $\sqrt{x^2+4x+4}=|x+2|$, $\sqrt{x^2-6x+9}=|x-3|$. Nierówność: $|x+2|+|x-3|<\frac{25}{3}$. Rozpatruje 3 przypadki znaków modułów.

    ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: $\sqrt{x^2}=x$ zamiast $|x|$. Pamiętaj — pierwiastek kwadratowy z liczby jest **zawsze nieujemny**, więc $\sqrt{a^2}=|a|$, nie $a$.

    Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
11. Matura CKE · maj 2023 · zad. 11 5 pkt równanie kwadratowe z parametrem, wzory Viete'a

    Zadanie 11. (0-5)

    Wyznacz wszystkie wartości parametru $m\ne 2$, dla których równanie

    $$x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0$$

    ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1,x_2$ spełniające warunek $x_1^3+x_2^3>-28$. Zapisz obliczenia.

    Pokaż odpowiedź

    $m\in \left(\frac{11}{5},\frac{9}{4}\right)$

    Wzory Viety: $x_1+x_2=-4$, $x_1{x}_2=-\frac{m-3}{m-2}$.

    Warunki: (1) $\Delta >0$ → $\frac{5m-11}{m-2}>0$ → $m<2$ lub $m>\frac{11}{5}$; (2) $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)[(x_1+x_2{)}^2-3x_1{x}_2]>-28$ → $x_1{x}_2>3$ → $\frac{4m-9}{m-2}<0$ → $2<m<\frac{9}{4}$. Część wspólna: $\frac{11}{5}<m<\frac{9}{4}$.

    ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: pominięcie warunku $\Delta >0$. Tylko sam warunek na $x_1^3+x_2^3$ daje $2<m<9/4$, ale dla $m\in (2,11/5)$ równanie ma rozwiązania zespolone — trzeba wykluczyć.

    Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →