Rachunek różniczkowy: granice, pochodne, optymalizacja

6 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z matematyki (2023–2025). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

1. Matura CKE · maj 2025 · zad. 12 6 pkt stereometria, stożek, optymalizacja z pochodną

   Zadanie 12.

   Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od $5$, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa $5$.

   Zadanie 12.1. (0–2)

   Wykaż, że objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem

   $$V(h)=\frac{\pi }{3}\cdot \frac{25h^3}{h^2-25}$$

   Zadanie 12.2. (0–4)

   Objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem

   $$V(h)=\frac{\pi }{3}\cdot \frac{25h^3}{h^2-25}$$

   dla $h\in (5,+\infty )$.

   Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   12.2: $h=5\sqrt{3}$, $V_{\min }=\frac{125\sqrt{3}}{2}\pi$

   ⚠ Typowa pułapka: Klucz dla 12.1: "odległość środka podstawy od tworzącej" to wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego (środek O) na przeciwprostokątną (tworzącą SP) w trójkącie OSP. Wzór: $d=rh/\sqrt{r^2+h^2}=5$. W 12.2: nie zapominaj o dziedzinie $h>5$ — bez tego $h=5$ daje dzielenie przez zero.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
2. Matura CKE · maj 2024 · zad. 2 2 pkt granice funkcji, granice jednostronne

   Oblicz granicę $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^3-8}{(x-2{)}^2}$.

   Pokaż odpowiedź

   Granica jest równa −∞.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd to próba obliczenia granicy w punkcie x = 2 (czyli policzenie 0/0 i napisanie "nieoznaczoność"). To granica JEDNOSTRONNA — z lewej strony, więc x < 2. Druga pułapka: zapomnienie znaku — (x − 2)² jest zawsze ≥ 0, ale ze znakiem 0⁺, nie 0⁻ (kwadrat dowolnej liczby ≠ 0 jest dodatni).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
3. Matura CKE · maj 2024 · zad. 4 3 pkt pochodna, styczna do wykresu funkcji

   Funkcja $f$ jest określona wzorem

   $$f(x)=\frac{x^3-3x+2}{x}$$

   dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ punkt $P$, o pierwszej współrzędnej równej $2$, należy do wykresu funkcji $f$. Prosta o równaniu $y=ax+b$ jest styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$.

   Zadanie 4. (0–3)

   Oblicz współczynniki $a$ oraz $b$ w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   a = 7/2, b = −5

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd to pominięcie uproszczenia f(x) = x² − 3 + 2/x i liczenie pochodnej ilorazu w pierwotnej formie (działa, ale prowadzi do błędów rachunkowych). Drugi błąd: zapomnienie, że styczna przechodzi przez P — i b liczone bez warunku f(P_x) = a · P_x + b.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
4. Matura CKE · maj 2024 · zad. 13 6 pkt stereometria, optymalizacja, pochodna

   Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $3456$, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż $8\sqrt{3}$.

   Zadanie 13.1. (0–2)

   Wykaż, że pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

   $$P(a)=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\frac{13824\sqrt{3}}{a}$$

   Zadanie 13.2. (0–4)

   Pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

   $$P(a)=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\frac{13824\sqrt{3}}{a}$$

   dla $a\in (0,8\sqrt{3}]$.

   Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $a=8\sqrt{3}$, $P_{\min }=96\sqrt{3}+1728$

   ⚠ Typowa pułapka: CKE wprost: jeśli rozważasz inną bryłę niż graniastosłup prawidłowy trójkątny (np. czworokątny lub ostrosłup) — 0 punktów za 13.1. W 13.2: jeśli przyjmiesz tylko $a=8\sqrt{3}$ bez sprawdzenia czy P jest naprawdę najmniejsze (np. nie zbadasz znaku pochodnej) — 0 punktów.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
5. Matura CKE · maj 2023 · zad. 3 3 pkt pochodna funkcji wymiernej, styczna do wykresu

   Zadanie 3. (0-3)

   Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{3x^2-2x}{x^2+2x+8}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x$. Punkt $P=(x_0,3)$ należy do wykresu funkcji $f$.

   Oblicz $x_0$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P$. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $x_0=-3$, $f^{\prime }(-3)=-\frac{8}{11}$

   Styczna: $y=-\frac{8}{11}x+\frac{9}{11}$

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: zła pochodna ilorazu — pomyłka w znaku lub kolejności wyrazów. Wzór: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ (różnica, nie suma!). Drugi błąd: brak skrócenia $\frac{-88}{121}$ do $-\frac{8}{11}$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
6. Matura CKE · maj 2023 · zad. 12 5 pkt logarytmy, ekstrema funkcji, pochodne

   Zadanie 12.

   Funkcja $f$ jest określona wzorem

   $$f(x)=81^{{\log }_{3}x}+\frac{2\cdot {\log }_2\sqrt{27}\cdot {\log }_{3}2}{3}\cdot x^2-6x$$

   dla każdej liczby dodatniej $x$.

   Zadanie 12.1. (0-2)

   Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $x$ wyrażenie

   $$81^{{\log }_{3}x}+\frac{2\cdot {\log }_2\sqrt{27}\cdot {\log }_{3}2}{3}\cdot x^2-6x$$

   można równoważnie przekształcić do postaci $x^4+x^2-6x$.

   Zadanie 12.2. (0-4)

   Oblicz najmniejszą wartość funkcji $f$ określonej dla każdej liczby dodatniej $x$. Zapisz obliczenia.

   Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji $f$ można przedstawić w postaci $f(x)=x^4+x^2-6x$.

   Pokaż odpowiedź

   12.1. $81^{{\log }_{3}x}=(3^4{)}^{{\log }_{3}x}=3^{4{\log }_{3}x}=x^4$. $\frac{2{\log }_2\sqrt{27}\cdot {\log }_{3}2}{3}=\frac{3{\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}2}{3}=\frac{3\cdot 1}{3}=1$. Stąd $f(x)=x^4+x^2-6x$.

   12.2. $f^{\prime }(x)=4x^3+2x-6=2(x-1)(2x^2+2x+3)$. Pierwiastek $x=1$ (drugi czynnik $\Delta <0$ — bez pierwiastków). Minimum lokalne w $x=1$: $f(1)=1+1-6=-4$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd w 12.1: zapomnienie własności $a^{{\log }_{a}b}=b$ i ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}a=1$. W 12.2: brak sprawdzenia że $2x^2+2x+3$ nie ma pierwiastków ($\Delta =4-24=-20<0$).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →