Stereometria: bryły, kąty w przestrzeni

4 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z matematyki (2023–2025). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

1. Matura CKE · maj 2025 · zad. 10 5 pkt stereometria, kąt dwuścienny, ostrosłup

   Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SA$ jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość $3\sqrt{34}$. Cosinus kąta $\beta$ między ścianami bocznymi $CDS$ i $BCS$ tego ostrosłupa jest równy $\left(-\frac{9}{25}\right)$.

   Zadanie 10. (0–5)

   Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   Pole powierzchni bocznej $P_b=918$.

   ⚠ Typowa pułapka: Klucz: kąt MIĘDZY ŚCIANAMI (dwuścienny) to kąt między wektorami normalnymi do tych ścian, albo równoważnie kąt między dwoma odcinkami prostopadłymi do wspólnej krawędzi CS (jeden w każdej ścianie). Mylenie z kątem między KRAWĘDZIAMI ścian (sąsiadującymi krawędziami) → zła odpowiedź.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
2. Matura CKE · maj 2025 · zad. 12 6 pkt stereometria, stożek, optymalizacja z pochodną

   Zadanie 12.

   Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od $5$, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa $5$.

   Zadanie 12.1. (0–2)

   Wykaż, że objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem

   $$V(h)=\frac{\pi }{3}\cdot \frac{25h^3}{h^2-25}$$

   Zadanie 12.2. (0–4)

   Objętość $V$ stożka, jako funkcja wysokości $h$ stożka, wyraża się wzorem

   $$V(h)=\frac{\pi }{3}\cdot \frac{25h^3}{h^2-25}$$

   dla $h\in (5,+\infty )$.

   Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   12.2: $h=5\sqrt{3}$, $V_{\min }=\frac{125\sqrt{3}}{2}\pi$

   ⚠ Typowa pułapka: Klucz dla 12.1: "odległość środka podstawy od tworzącej" to wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego (środek O) na przeciwprostokątną (tworzącą SP) w trójkącie OSP. Wzór: $d=rh/\sqrt{r^2+h^2}=5$. W 12.2: nie zapominaj o dziedzinie $h>5$ — bez tego $h=5$ daje dzielenie przez zero.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
3. Matura CKE · maj 2024 · zad. 13 6 pkt stereometria, optymalizacja, pochodna

   Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości $3456$, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż $8\sqrt{3}$.

   Zadanie 13.1. (0–2)

   Wykaż, że pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

   $$P(a)=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\frac{13824\sqrt{3}}{a}$$

   Zadanie 13.2. (0–4)

   Pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości $a$ krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem

   $$P(a)=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\frac{13824\sqrt{3}}{a}$$

   dla $a\in (0,8\sqrt{3}]$.

   Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $a=8\sqrt{3}$, $P_{\min }=96\sqrt{3}+1728$

   ⚠ Typowa pułapka: CKE wprost: jeśli rozważasz inną bryłę niż graniastosłup prawidłowy trójkątny (np. czworokątny lub ostrosłup) — 0 punktów za 13.1. W 13.2: jeśli przyjmiesz tylko $a=8\sqrt{3}$ bez sprawdzenia czy P jest naprawdę najmniejsze (np. nie zbadasz znaku pochodnej) — 0 punktów.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
4. Matura CKE · maj 2023 · zad. 7 4 pkt stereometria, sześcian, geometria analityczna 3D

   Zadanie 7. (0-4)

   Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $6$. Punkt $S$ jest punktem przecięcia przekątnych $AH$ i $DE$ ściany bocznej $ADHE$ (zobacz rysunek).

   Oblicz wysokość trójkąta $SBH$ poprowadzoną z punktu $S$ na bok $BH$ tego trójkąta. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $h=\sqrt{6}$

   Współrzędne: $S=(0,3,3)$, $B=(6,0,0)$, $H=(0,6,6)$. Pole $△SBH=9\sqrt{2}$ (z iloczynu wektorowego). $|BH|=6\sqrt{3}$. Stąd $h=\frac{2\cdot 9\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}=\sqrt{6}$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: założenie, że trójkąt $SBH$ jest prostokątny lub równoramienny. Sprawdź boki: $|SB|=3\sqrt{6}$, $|SH|=3\sqrt{2}$, $|BH|=6\sqrt{3}$ — to **trójkąt różnoboczny**.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →