Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

4 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z matematyki (2023–2025). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

1. Matura CKE · maj 2025 · zad. 4 3 pkt prawdopodobieństwo warunkowe

   Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.

   Zadanie 4. (0–3)

   Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $P(A|B)=\frac{9}{25}$

   ⚠ Typowa pułapka: Klasyczny błąd to liczenie P(A) zamiast P(A|B). Warunek B (dokładnie dwa razy 5) zawęża przestrzeń próbną — dzielisz |A∩B| przez |B|, nie przez 6⁴. Drugi błąd: pomylenie "co najmniej jeden raz 6" z "dokładnie raz 6".

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
2. Matura CKE · maj 2024 · zad. 3 3 pkt prawdopodobieństwo, schemat Bernoulliego

   W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w $200$-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż $36\%$ tłuszczu, jest równe $0,01$. Kontroli poddajemy $10$ losowo wybranych opakowań ze śmietaną.

   Zadanie 3. (0–3)

   Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród opakowań poddanych tej kontroli będzie co najwyżej jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż $36\%$ tłuszczu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   P ≈ 0,996

   ⚠ Typowa pułapka: CKE wprost: jeśli określisz sukces jako p = 0,99 zamiast p = 0,01 (czyli "udane opakowanie z ≥ 36% tłuszczu") i potem błędnie zinterpretujesz końcowy wynik — dostajesz 1 pkt zamiast 3. Druga pułapka: pomylenie "co najwyżej 1" z "dokładnie 1" lub "co najmniej 1".

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
3. Matura CKE · maj 2024 · zad. 6 3 pkt kombinatoryka, zliczanie z ograniczeniami

   Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste.

   Zadanie 6. (0–3)

   Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   11 040

   ⚠ Typowa pułapka: Najgorszy błąd to pominięcie ograniczenia "liczba naturalna" — pierwsza cyfra ≠ 0. Zliczyć trzeba WSZYSTKIE permutacje 5 wybranych cyfr i ODJĄĆ te, które zaczynają się od zera. CKE wprost: jeśli rozpatrujesz liczby inne niż pięciocyfrowe — 0 punktów.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
4. Matura CKE · maj 2023 · zad. 2 3 pkt schemat Bernoulliego, prawdopodobieństwo

   Zadanie 2. (0-3)

   Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe $\frac{1}{4}$.

   Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $P=\frac{1}{64}$

   Schemat Bernoulliego: $P(\ge 4)=P(4)+P(5)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^4\left(\frac{3}{4}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5}\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{15}{1024}+\frac{1}{1024}=\frac{16}{1024}=\frac{1}{64}$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: pominięcie przypadku 5 wygranych — „co najmniej 4" obejmuje 4 **i** 5. Drugi błąd: brak współczynnika dwumianowego $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)=5$ (zlicza, na które partie wypadają wygrane).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →