Ciągi i szeregi: arytmetyczne, geometryczne, suma nieskończona

6 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z matematyki (2023–2025). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

1. Matura CKE · maj 2025 · zad. 1 2 pkt funkcja wykładnicza, procent składany

   W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność $N$ populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

   $$N(t)=N_0\cdot k^t\text{dla}t\ge 0$$

   gdzie:

   • $N_0$ — liczebność populacji w chwili $t=0$ rozpoczęcia obserwacji,
   • $k$ — stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji,
   • $t$ — czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili $t=0$ rozpoczęcia obserwacji.

   W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa $10000$, a po dwóch godzinach była równa $15625$.

   Zadanie 1. (0–2)

   Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   Wzrost o 25% w ciągu każdej godziny ($k=1,25$).

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd to obliczenie $k^2=1,5625$ i wpisanie "wzrost o 56,25%" (czyli $k^2-1$ jako procent). To wzrost przez **dwie godziny**, nie przez jedną. Trzeba wziąć $\sqrt{k^2}=k$ i obliczyć $k-1=0,25$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
2. Matura CKE · maj 2025 · zad. 6 4 pkt szereg geometryczny, sumowanie nieskończone

   Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu $a_1+a_3=20$ i $a_1^2+a_3^2=328$.

   Zadanie 6. (0–4)

   Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $S=27$ (dla $q=\frac{1}{3}$) lub $S=\frac{27}{2}$ (dla $q=-\frac{1}{3}$).

   ⚠ Typowa pułapka: Najgorszy błąd: zapomnieć warunku "zbieżny" → $|q|<1$. Bez tego przyjąłbyś też $q^2=9$, czyli $q=\pm 3$, ale taki ciąg jest rozbieżny (suma nieskończona nie istnieje). Drugi błąd: jedna odpowiedź zamiast obu — treść wprost mówi "rozważ wszystkie przypadki".

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
3. Matura CKE · maj 2024 · zad. 7 4 pkt ciągi arytmetyczne i geometryczne, układ równań

   Trzywyrazowy ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa $105$. Liczby $x$, $y$ oraz $z$ są — odpowiednio — pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

   Zadanie 7. (0–4)

   Oblicz $x$, $y$ oraz $z$. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   x = 5, y = 20, z = 80 (iloraz q = 4, różnica r = 15)

   ⚠ Typowa pułapka: CKE wprost: jeśli dzielisz obie strony równania przez wyrażenie z niewiadomą (np. (x+r)² = x(x+5r) sprowadzone do r² = 3rx i podzielone przez r BEZ założenia r ≠ 0) — maksimum 3 pkt. Trzeba osobno rozpatrzyć przypadek r = 0 (i odrzucić go, bo ciąg ma być ROSNĄCY).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
4. Matura CKE · maj 2023 · zad. 1 2 pkt ciąg geometryczny, rozpad procentowy, logarytmy

   Zadanie 1. (0-2)

   W chwili początkowej ($t=0$) masa substancji jest równa $4$ gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa $19\%$ masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej $t\ge 0$ funkcja $m(t)$ określa masę substancji w gramach po $t$ pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).

   Wyznacz wzór funkcji $m(t)$. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od $1,5$ grama. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   Wzór: $m(t)=4\cdot 0,81^t$

   Po $5$ pełnych dobach masa po raz pierwszy < $1,5$ g.

   Sprawdzenie: $m(4)\approx 1,72$, $m(5)\approx 1,40$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: $m(t)=4\cdot 0,19^t$ — ubywa $19\%$, więc **zostaje $81\%$**. Drugi błąd: nierówność $0,81^t<0,375$ rozwiązana ze złym znakiem (przy logarytmowaniu liczb < 1 znak nierówności **się odwraca**).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
5. Matura CKE · maj 2023 · zad. 6 3 pkt równanie trygonometryczne, wzory na sumę

   Zadanie 6. (0-3)

   Rozwiąż równanie

   $$4\sin (4x)\cos (6x)=2\sin (10x)+1$$

   Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$ lub $x=\frac{7\pi }{12}+k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$.

   Krok kluczowy: $2\sin A\cos B=\sin (A+B)+\sin (A-B)$, więc $4\sin (4x)\cos (6x)=2\sin (10x)-2\sin (2x)$. Po skróceniu: $\sin (2x)=-\frac{1}{2}$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: pominięcie wzoru $2\sin A\cos B$ i próba podstawiania bezpośrednia. Klucz: zauważyć że $\sin (10x)$ pojawia się po obu stronach i można je skrócić po zastosowaniu wzoru.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
6. Matura CKE · maj 2023 · zad. 10 4 pkt szereg geometryczny, geometria, twierdzenie Pitagorasa

   Zadanie 10. (0-4)

   Określamy kwadraty $K_1,K_2,K_3,\dots$ następująco:

   • $K_1$ jest kwadratem o boku długości $a$
   • $K_2$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_1$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$
   • $K_3$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_2$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$
   • i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej $n\ge 2$, $K_n$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{n-1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$.

   Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

   Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   Suma: $S=\frac{8a(4+\sqrt{10})}{3}$

   Bok $K_2$ z Pitagorasa: $\sqrt{(a/4{)}^2+(3a/4{)}^2}=\frac{a\sqrt{10}}{4}$. Iloraz $q=\frac{\sqrt{10}}{4}$. Suma szeregu geom.: $S=\frac{4a}{1-\sqrt{10}/4}=\frac{16a}{4-\sqrt{10}}=\frac{8a(4+\sqrt{10})}{3}$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: liczenie pól zamiast obwodów. Iloraz pól = $q_{pole}^2={\left(\frac{\sqrt{10}}{4}\right)}^2=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$. Treść mówi o **obwodach**.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →