Funkcje: kwadratowa, wykładnicza, logarytmiczna, wymierna

7 zadań z oficjalnych arkuszy matury rozszerzonej z matematyki (2023–2025). Spróbuj rozwiązać samodzielnie, potem odsłoń odpowiedź — przy każdym zadaniu znajdziesz typową pułapkę, na której wykładają się maturzyści.

1. Matura CKE · maj 2025 · zad. 1 2 pkt funkcja wykładnicza, procent składany

   W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność $N$ populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

   $$N(t)=N_0\cdot k^t\text{dla}t\ge 0$$

   gdzie:

   • $N_0$ — liczebność populacji w chwili $t=0$ rozpoczęcia obserwacji,
   • $k$ — stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji,
   • $t$ — czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili $t=0$ rozpoczęcia obserwacji.

   W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa $10000$, a po dwóch godzinach była równa $15625$.

   Zadanie 1. (0–2)

   Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   Wzrost o 25% w ciągu każdej godziny ($k=1,25$).

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd to obliczenie $k^2=1,5625$ i wpisanie "wzrost o 56,25%" (czyli $k^2-1$ jako procent). To wzrost przez **dwie godziny**, nie przez jedną. Trzeba wziąć $\sqrt{k^2}=k$ i obliczyć $k-1=0,25$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
2. Matura CKE · maj 2025 · zad. 11 6 pkt funkcja kwadratowa z parametrem, wzory Viète'a

   Funkcja $f$ jest określona wzorem

   $$f(x)=(2-m)x^2-2(2m+1)x+m+8$$

   dla każdej liczby rzeczywistej $x$, gdzie $m$ jest liczbą rzeczywistą różną od $2$.

   Zadanie 11. (0–6)

   Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe $x_1$ oraz $x_2$ tego samego znaku, które spełniają warunek

   $$(x_1-x_2{)}^2\le 180$$

   Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $m\in (-8,-3)\cup (1,\frac{3}{2}⟩$

   ⚠ Typowa pułapka: Trzy warunki, każdy daje przedział. Klucz: precyzyjnie POŁĄCZ wszystkie trzy. Pułapka 1: pominięcie $\Delta >0$ (dwa różne miejsca zerowe → ostry znak). Pułapka 2: pomyłka znaku przy $(x_1-x_2{)}^2\le 180$ — to po przekształceniu daje $8m^2-38m+39\ge 0$, NIE $\le 0$.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
3. Matura CKE · maj 2024 · zad. 1 2 pkt funkcja wykładnicza, model praktyczny

   W chwili początkowej ($t=0$) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa $80°\mathrm{C}$. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa $20°\mathrm{C}$. Temperatura $T$ tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością

   $$T(t)=(T_p-T_z)\cdot k^{-t}+T_z\text{dla}t\ge 0$$

   gdzie:

   • $T$ — temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
   • $t$ — czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,
   • $T_p$ — temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
   • $T_z$ — temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,
   • $k$ — stała charakterystyczna dla danej cieczy.

   Po $10$ minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury $65°\mathrm{C}$.

   Zadanie 1. (0–2)

   Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   T(15) ≈ 59 °C

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd to liczenie T(5) zamiast T(15) — bo treść mówi "po kolejnych 5 minutach". To T(10 + 5) = T(15), nie T(5). Drugi błąd: zostawienie wyniku z √3 zamiast zaokrąglić do jedności.

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
4. Matura CKE · maj 2024 · zad. 5 3 pkt logarytmy, zmiana podstawy

   Wykaż, że jeżeli ${\log }_{5}4=a$ oraz ${\log }_{4}3=b$, to ${\log }_{12}80=\frac{2a+1}{a\cdot (1+b)}$.

   Pokaż odpowiedź

   Dowód — patrz Sposób I (najprostszy, przez zamianę podstawy na 4).

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd to pomieszanie wzoru na zamianę podstawy (log_a b = log_c b / log_c a — uważaj który jest licznikiem, który mianownikiem). Drugi błąd: pomylenie log_5 4 z log_4 5 (są wzajemnie odwrotne, ale to NIE TO SAMO).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
5. Matura CKE · maj 2023 · zad. 1 2 pkt ciąg geometryczny, rozpad procentowy, logarytmy

   Zadanie 1. (0-2)

   W chwili początkowej ($t=0$) masa substancji jest równa $4$ gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa $19\%$ masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej $t\ge 0$ funkcja $m(t)$ określa masę substancji w gramach po $t$ pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).

   Wyznacz wzór funkcji $m(t)$. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od $1,5$ grama. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   Wzór: $m(t)=4\cdot 0,81^t$

   Po $5$ pełnych dobach masa po raz pierwszy < $1,5$ g.

   Sprawdzenie: $m(4)\approx 1,72$, $m(5)\approx 1,40$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: $m(t)=4\cdot 0,19^t$ — ubywa $19\%$, więc **zostaje $81\%$**. Drugi błąd: nierówność $0,81^t<0,375$ rozwiązana ze złym znakiem (przy logarytmowaniu liczb < 1 znak nierówności **się odwraca**).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
6. Matura CKE · maj 2023 · zad. 12 5 pkt logarytmy, ekstrema funkcji, pochodne

   Zadanie 12.

   Funkcja $f$ jest określona wzorem

   $$f(x)=81^{{\log }_{3}x}+\frac{2\cdot {\log }_2\sqrt{27}\cdot {\log }_{3}2}{3}\cdot x^2-6x$$

   dla każdej liczby dodatniej $x$.

   Zadanie 12.1. (0-2)

   Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej $x$ wyrażenie

   $$81^{{\log }_{3}x}+\frac{2\cdot {\log }_2\sqrt{27}\cdot {\log }_{3}2}{3}\cdot x^2-6x$$

   można równoważnie przekształcić do postaci $x^4+x^2-6x$.

   Zadanie 12.2. (0-4)

   Oblicz najmniejszą wartość funkcji $f$ określonej dla każdej liczby dodatniej $x$. Zapisz obliczenia.

   Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji $f$ można przedstawić w postaci $f(x)=x^4+x^2-6x$.

   Pokaż odpowiedź

   12.1. $81^{{\log }_{3}x}=(3^4{)}^{{\log }_{3}x}=3^{4{\log }_{3}x}=x^4$. $\frac{2{\log }_2\sqrt{27}\cdot {\log }_{3}2}{3}=\frac{3{\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}2}{3}=\frac{3\cdot 1}{3}=1$. Stąd $f(x)=x^4+x^2-6x$.

   12.2. $f^{\prime }(x)=4x^3+2x-6=2(x-1)(2x^2+2x+3)$. Pierwiastek $x=1$ (drugi czynnik $\Delta <0$ — bez pierwiastków). Minimum lokalne w $x=1$: $f(1)=1+1-6=-4$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd w 12.1: zapomnienie własności $a^{{\log }_{a}b}=b$ i ${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}a=1$. W 12.2: brak sprawdzenia że $2x^2+2x+3$ nie ma pierwiastków ($\Delta =4-24=-20<0$).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →
7. Matura CKE · maj 2023 · zad. 13 6 pkt geometria analityczna, okrąg, kąt wpisany, parabola

   Zadanie 13. (0-6)

   W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x,y)$ prosta $l$ o równaniu $x-y-2=0$ przecina parabolę o równaniu $y=4x^2-7x+1$ w punktach $A$ oraz $B$. Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$. Punkt $C$ leży na okręgu $\mathcal{O}$ nad prostą $l$, a kąt $BAC$ jest ostry i ma miarę $\alpha$ taką, że $\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{3}$ (zobacz rysunek).

   Oblicz współrzędne punktu $C$. Zapisz obliczenia.

   Pokaż odpowiedź

   $C=\left(\frac{11}{10},-\frac{3}{10}\right)$

   Z układu prostej i paraboli: $A=(\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$, $B=(\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$. Z tw. Talesa (AB średnica) → $\angle ACB=90°$. W trójkącie prostokątnym ACB: $|AB|=\sqrt{2}$, $\tan \alpha =BC/AC=1/3$ → $AC=\frac{3}{\sqrt{5}}$, $BC=\frac{1}{\sqrt{5}}$. Wektory: $\widehat{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$, prostopadła w górę $=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1)$. $C=A+AC\cos \alpha \cdot \widehat{AB}+AC\sin \alpha \cdot \hat{n}$ daje $C=(1,1;-0,3)$.

   ⚠ Typowa pułapka: Najczęstszy błąd: pomylenie kierunku „nad prostą" — kąt $\alpha$ ma dwa możliwe położenia $C$ (po obu stronach AB). Z rysunku/treści wynika, że $C$ leży po stronie $y$ większej (nad $l$).

   Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku →